Разложение непериодической функции в тригонометрический ряд Фурье
Пусть функция 
задана на промежутке 
и удовлетворяет на нем достаточным
условиям разложимости в ТРФ.
Будем называть 
– периодическим продолжением
функции 
, 
функцию 
, 
со следующими свойствами:
1) – периодическая с периодом 
;
2) 
на 
.
Функция 
может быть представлена ТРФ на всей числовой оси.
Естественно считать построенный ряд тригонометрическим
рядом Фурье функции 
на .
ПРИМЕР 10. Разложить в ТРФ функцию 
, 
.
Решение. Функция , являющаяся 
– периодическим продолжением заданной
функции , представлена
графиком. Построим ТРФ функции и на 
представим заданную функцию этим рядом.
;
; аналогично
.
Итак, на 
имеем 
.
При 
и 
сумма ряда равна 
.
Пусть , 
удовлетворяет достаточным условиям
разложимости в ТРФ на 
. Построим – 
–периодическое продолжение заданной функции.
Для этого сначала доопределим ее на 
с помощью какой-либо функции
, 
так, чтобы функция
(15)
удовлетворяла условиям разложимости в ТРФ на
. Затем
построим – –периодическое
продолжение функции 
, 
. ТРФ функции считаем на 
соответствующим исходной функции
, 
.
ПРИМЕР 11. Разложить в ТРФ функцию 
, 
.
Решение. Доопределим заданную функцию с помощью,
например, 
, 
. Для полученной функции
построим – 
–периодическое продолжение
(см. рисунок). ТРФ функции определяется коэффициентами:
;
;
аналогично
.
Итак, на 
имеем
;
для 
сумма ТРФ равна 
.
Функцию , 
можно доопределить на 
четным или нечетным образом.
Соответствующий ТРФ содержит либо только постоянную составляющую и косинусы,
либо только синусы углов.
