Разложение непериодической функции в тригонометрический ряд Фурье
Пример. Разложить функцию 
, 
в ТРФ, доопределив ее четным
образом на 
.
Решение. Доопределим заданную функцию на 
значениями 
. Получим функцию 
на 
; 
–периодически продолжим ее на
числовую ось (см. рисунок). Воспользуемся формулами коэффициентов Фурье (12)
и (13) четной функции.
Тогда
; 
;
(воспользовались вычислением
интеграла 
из предыдущего примера).
Окончательно имеем 
.
ПРИМЕР 13. Разложить функцию , 
в ТРФ, доопределив ее нечетным
образом на значениями 
.
Получим функцию 
Ее –периодическое
продолжение 
представлено
графиком (см. рисунок). Поскольку – нечетная на 
функция, то согласно формулам (13) и
(14) имеем 
,
;
(см. вычисления в приведенном
ранее примере).
Итак, при нечетном продолжении
функции , 
имеем 
на 
; 
.
Замечание. При использовании ТРФ функции желательно
знать: для какого продолжения (четного, нечетного или еще какого-либо) ТРФ
будет обладать лучшими свойствами сходимости. Оказывается
(см. [6]), характер сходимости ТРФ в этом случае определяется свойствами заданной
функции в граничных точках 
, 
.
Если 
или 
, то нечетное продолжение приведет к разрыву
функции в точках , , 
. При четном продолжении функция не будет
иметь этих разрывов. Именно поэтому разложение в ТРФ по косинусам в рассматриваемом
случае обладает лучшими свойствами сходимости по сравнению с разложением
по синусам. Кроме того, можно пронаблюдать, что при четном продолжении функции
коэффициенты ряда убывают как 
, а при нечетном продолжении
— как 
(см. предыдущие
примеры).
Если же 
, то, наоборот, разложение по синусам может оказаться
лучше, чем по косинусам. Дело в том, что периодическое продолжение функции
нечетным образом иногда обеспечивает непрерывность
не только самой функции, но и ее первой производной в точках и , что и определяет существенное
улучшение сходимости ТРФ. Можно пронаблюдать, что в этом случае коэффициенты
ТРФ по синусам убывают со скоростью 
, которая является вполне удовлетворительной для
многих приложений ТРФ.
