Рассмотрим 
–периодическую функцию 
, (
— время), удовлетворяющую условиям
разложимости в ТРФ Обозначим 
. Тогда из (10) имеем
, (16)
где 
,
.
Преобразуем общий член ряда (16) с помощью формул Эйлера
, 
, 
, (17)
получим 
.
Обозначим
, 
, 
, (
). (18)
Тогда 
.
Аналогично для 
имеем 
, (); а при 
.
Видим, что если считать 
– целым числом любого знака, то формулы для 
,
и 
можно заменить одной формулой
, (
). (19)
Теперь соотношение (16) можно записать в виде
. (20)
Заменяя индекс суммирования 
на 
, получим 
. Введем в (20) новый индекс суммирования
, считая, что он
принимает значения 
. Тогда получим окончательно
. (21)
В формуле (21) ТРФ функции
представлен в комплексной форме;
числа определяются согласно равенствам (19) и являются
комплексными коэффициентами Фурье функции ;
функция 
называется
комплексной гармоникой; величина – комплексной амплитудой 
-й
гармоники.
