Пример. Разложить 
– периодическую функцию 
, заданную на 
соотношением 
в ТРФ в комплексной форме.
Решение. Заданная функция удовлетворяет достаточным условиям разложимости в ТРФ, т.е.
, 
.
Из (19) получаем 
.
Итак, окончательно имеем
; (22)
в точках разрыва сумма ряда имеет значение 
.
От комплексного представления ТРФ функции всегда можно перейти к действительной форме этого ряда. В самом деле, из (18) имеем
; 
; 
. (23)
Для ТРФ (22) получаем 
;
, (
); аналогично
, .
Итак, соотношение (22) в действительной форме имеет вид
или
.
15.6. СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Пусть функции 
представлена ТРФ в комплексной форме соответственно
(21). Здесь суммирование производится как по положительным, так и по отрицательным
значениям 
, т.е. комплексная форма ТРФ допускает существование
и положительных, и отрицательных частот 
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность (19) комплексных
коэффициентов Фурье функции называется спектральной последовательностью
функции или комплексным частотным спектром периодической функции .
Числа 
– комплексные, модуль и аргумент этих чисел составляют
спектральные характеристики функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность 
, где
, (24)
называется амплитудным частотным спектром функции;
последовательность 
, где
, (25)
называется фазовым частотным спектром функции.
Для нахождения 
можно использовать формулы
, 
.
Для наглядного представления
частотных спектров и периодической функции их изображают
графически. Для этого на оси 
откладывают частоты 
, 
и для каждой частоты строят
отрезок длиной 
или 
перпендикулярно оси ; при построении учитывается знак .
В силу кратности частот гармоник имеем
. (26)
Поэтому каждый частотный спектр состоит из равноотстоящих параллельных отрезков. Спектры периодической функции дискретны, их называют также линейчатыми гармоническими спектрами функции.
Отметим некоторые свойства частотных спектров периодической функции:
1. Амплитудный частотный спектр
неотрицателен 
для всякого 
.
2. Поскольку 
и 
– комплексно-сопряженные
числа (см. (18)), то амплитудный частотный спектр является симметричным
относительно прямой 
(четно-симметричен), т.е.
, (27)
а фазовый частотный спектр является симметричным
относительно точки
на оси (нечетно-симметричен), т.е.
. (28)
3. При 
значение амплитуды 
стремится к
нулю, поэтому амплитудный частотный спектр обладает свойством асимптотичности
по отношению к оси .
4. Фазовый частотный спектр (25) ограничен.
Заметим, что между периодическими функциями (из достаточно широкого класса функций) и их частотными спектрами существует взаимно-однозначное соответствие, благодаря чему в некоторых технических задачах оказывается удобным заменять операции над периодическими процессами операциями над их частотными спектрами.
