Пример. Показать по определению
.
Решение. Здесь 
.
Имеем случай конечного предела в конечной точке 
, поэтому по определению имеем
.
1) Возьмем 
.
2) Ищем 
так, чтобы из неравенства 
следовало 
.
3) Для нахождения 
выясним, для каких значений
выполняется неравенство 
, т.е. если 
, то требуемое неравенство 
выполняется.
Справедлива теорема:
Функция 
в точке 
имеет предел 
(
, 
) тогда и только тогда, когда в точке
функции 
и 
имеют соответственно пределы
и 
.
Эта теорема устанавливает эквивалентность условий существования пределов
ФКП 
и функций 
, 
в соответствующей точке. Именно поэтому
теория конечного предела ФКП строится аналогично теории предела действительных
функций двух действительных переменных (условия существования; арифметика
функций, имеющих конечные пределы в одной и той же точке; формальные правила
и методы вычисления пределов и т.д.).
ПРИМЕР 2. Показать, что ФКП
при 
не имеет
предела.
Решение. 
. Рассмотрим функцию 
при условии 
для
, где 
. На лучах (
) функция принимает вид 
и при 
(а значит, и 
) стремится к различным пределам,
зависящим от 
, т.е. не имеет единого предела.
Итак, не имеет предела в 
; согласно теореме ФКП также не имеет предела при .
ФКП 
называется ограниченной на множестве 
,
если 
– ограниченная
на функция, т.е.
можно указать число 
такое, что для всех 
выполняется неравенство 
.
Поведение ФКП в окрестности 
точки 
определяется пределом
при 
. Если при
имеет конечный предел, то она
локально ограничена. Если 
, то ни в какой из окрестностей точки ФКП не является ограниченной. Если
же предел ФКП при не существует, то поведение функции вблизи точки
неопределенное.
Задание
1. Показать по определению
, т.е. 
.
Ответ: для
находим 
такое, что
, 
.
2. Показать по определению
.
Ответ: 
при 
, а при 
(
) 
, т.е. 
.
16.3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФКП В ТОЧКЕ, НА МНОЖЕСТВЕ
Однозначная ФКП называется непрерывной в точке ,
если она определена в некоторой окрестности этой точки и имеет конечный предел
в точке , равный
значению функции в этой точке, т.е. 
.
