ФКП называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
В силу теоремы, сформулированной в п. 1.2, ФКП 
непрерывна в точке (на множестве) тогда и только тогда, когда каждая из функций
и 
непрерывна в точке (на множестве)
как действительная функция двух действительных переменных. Поэтому же для
ФКП справедливы теоремы о непрерывности суммы, произведения и отношения непрерывных
функций, а также теорема о непрерывности сложной функции непрерывных функций.
Многочлен 
, 
(
— степень многочлена) также есть ФКП
непрерывная всюду на 
–плоскости. Дробно-рациональная ФКП 
(отношение двух многочленов)
непрерывна всюду на своей области определения. Нули знаменателя, очевидно,
не являются точками непрерывности 
(их называют точками разрыва). Поскольку
точек разрыва дробно-рациональной функции не более "
"
(конечное множество), то каждая точка разрыва — изолированная точка,
т.е. можно указать окрестность точки разрыва, не содержащую других точек разрыва
ФКП.
ПРИМЕР 3. Изучить поведение
функции 
в точках разрыва.
Решение. – дробно-рациональная функция,
имеет точки разрыва 
и 
. Чтобы изучить поведение функции в окрестности
точки разрыва, нужно вычислить предел ее в этой точке.
Поскольку 
для всякого 
и 
, то при 
, т.е. – локально ограничена
(ограничена в окрестности точки 
).
В окрестности 
,
, имеем 
. Для всякого 
можно
указать 
, например
такое, что 
при всяком 
.
Итак, 
, т.е. – ФКП не ограниченная во
всякой окрестности точки 
.
Если 
, где 
и 
– произвольные ФКП,
то множество точек разрыва функции состоит из точек разрыва функций и , а также нулей знаменателя.
ПРИМЕР 4. Найти точки разрыва
функции 
.
Решение. Числитель 
— ФКП, имеющая точки разрыва 
; каждая из них — изолированная точка разрыва.
Знаменатель обращается в ноль при 
, т.е. каждая точка гиперболы — точка разрыва функции,
причем неизолированная точка.
В теории ФКП используется определение непрерывности ФКП в точке "через приращения".
Пусть определена в некоторой окрестности 
точки 
. Тогда приращение аргумента
есть
,
а соответствующее приращение
функции 
в точке 
имеет вид:
,
т.е. 
. (2)
ФКП непрерывна в точке тогда и только тогда, когда выполняется
равенство 
(3)
или соответственно выполняются одновременно равенства
, 
.
Задание
Изучить поведение функции
в окрестности ее точек разрыва:
а) 
; б) 
; в) 
.
Ответ: а) при 
– локально ограниченая ФКП;
б) при 
; в) в окрестности 
– неограниченая ФКП.
16.4. КОМПЛЕКСНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
Пусть для ФКП 
, 
, где 
– действительная переменная (скалярный
аргумент), 
. Тогда функция 
есть комплексная функция скалярного аргумента;
и 
– действительные функции аргумента , 
. Функция 
, , отображает числовое множество 
оси 
на комплексную
–плоскость.
Если –промежуток, а функции и – непрерывные на функции, то точки , , образуют на –плоскости кривую, параметрические
уравнения которой имеют вид 
.
Комплексные функции скалярного аргумента 
используются для задания кривых на –плоскости, при этом дуга предполагается ориентированной
соответственно изменению параметра , либо 
, либо 
(на кривой указывается направление
движения точки 
с изменением ), здесь 
и 
– концы промежутка . Если 
,
то функция 
задает
контур; контур считается ориентированным положительно, если
при обходе по контуру ограниченная им область остается слева.
