Пусть однозначная ФКП 
задана в области 
, 
, 
при произвольном ненулевом достаточно
малом по модулю 
. Тогда производной ФКП 
в точке 
называется значение предела
(1)
при произвольном стремлении 
.
Формально определение производной
ФКП 
совпадает с определением производной
функции действительной переменной 
в точке 
. Поэтому некоторые понятия и
формулы теории дифференцирования функции действительной переменной переносятся
на ФКП. В частности, только для непрерывной в точке ФКП может существовать
производная в точке. Совпадают и основные ПРАВИЛА вычисления производных:
1. Если 
, 
, то 
на , т.е. 
.
2. 
, 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. Если 
, 
, то 
и 
– правило дифференцирования сложной ФКП.
Заметим, что перечисленные
формулы имеют место при предположении существования всех производных, входящих
в правые части равенств. Здесь 
и функции зависят от 
как от "единого" сочетания переменных
и 
.
Пример 5:
см. рис.5 (через каждую точку на оси Ох проходит два
решения (две интегральные кривые): частное и особое).
Рис.5
Можно построить интегральную кривую в каждой точке, используя понятие о геометрическом смысле производной: tgα = f(x,y) (рис.6). Таким образом задают поле направлений, т.е. задают прямую в каждой точке, а потом проводят кривую касательную ко всем прямым в этих точках и получают интегральную кривую (одно из решений).
рис.6
Сформулируем важнейшую теорему.
Теорема (О существовании и единственности решения задачи Коши дифференциального уравнения y’=f(x ,y)):
Пусть
- непрерывная функция (рис.7) в области
, причем 
- также непрерывна в . Тогда существует единственное
решение y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x, y) с начальным условием y(x0)=y0,
(x0,y0) принадлежит D. Следовательно, через точку 
проходит только одна интегральная
кривая.
Рис.7
(без доказательства).
