С понятием производной ФКП в точке связано понятие дифференцируемости ФКП в точке (на множестве).
ФКП 
, определенная в области 
, называется дифференцируемой
в точке 
, если
существует конечное число 
такое, что приращение функции в этой точке 
,
соответствующее 
,
может быть представлено в виде
, (2)
где ФКП 
удовлетворяет условию
. (3)
Из (2) и (3) видим, что существование
производной 
и
выполнимость равенства (2) эквивалентны, т.е. дифференцируема в точке 
тогда и только тогда, когда
существует .
ФКП 
, определенная в области , называется
дифференцируемой на области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.
Не всякая ФКП является дифференцируемой в области.
Одной из основных теорем теории ФКП является теорема об условиях дифференцируемости ФКП (см. [1]).
Пусть ФКП 
определена в некоторой
окрестности точки ,
причем в соответствующей точке 
функции 
и 
дифференцируемы как действительные функции двух
действительных аргументов.
Тогда для дифференцируемости
ФКП в точке необходимо и достаточно выполнение в
точке равенств
, 
, (4)
называемых обычно условиями Коши–Римана
(или Эйлера–Даламбера). При этом для дифференцируемой ФКП значения ее производной можно вычислять по любому
из выражений
. (5)
Заметим, что дифференцируемость
функции и в точке можно установить, используя
достаточное условие дифференцируемости действительной функции нескольких
переменных: если все частные производные первого порядка 
,
функции 
непрерывны в точке 
, то функция дифференцируема в этой точке.
ПРИМЕР 1. Доказать, что ФКП 
всюду дифференцируема, и найти
.
Решение. Имеем 
, 
. Функции 
, 
, 
, 
– непрерывны всюду;
условия Коши — Римана (4) очевидно выполнены. Поэтому получаем из (5) 
, т.е. 
.
