Пример. Показать, что ФКП 
всюду дифференцируема; вычислить
производную ФКП.
Решение. Имеем 
, 
. Функции 
, 
, 
, 
– непрерывны всюду на плоскости 
. Условия (4) легко проверяются
для всех точек 
. Поэтому ФКП 
всюду на 
–плоскости дифференцируема, причем 
.
Получили формулу для производной показательной ФКП, аналогичную формуле производной
показательной функции в действительной области.
ПРИМЕР 3. Проверить дифференцируемость при любых
ФКП 
при каждом конкретном значении 
; доказать формулу 
.
Решение. Имеем 
, 
, где 
вычисляется по правилу
Функции 
, 
, 
, 
являются непрерывными всюду, кроме 
. Условия (4) выполнены также
всюду, кроме , т.е. каждая ветвь ФКП 
дифференцируема для любого .
По формуле (5) имеем 
(
).
Заметим, что аналогичными рассуждениями можно показать дифференцируемость в области определения тригонометрических и гиперболических ФКП, а также однозначных ветвей обратных ФКП для них; причем значения производных этих функций находятся по формулам, аналогичным для соответствующих функций в действительной области:
; 
; 
;
; 
; 
, (6)
; 
и т.д.
ПРИМЕР 4. Показать, что ФКП 
не дифференцируема ни в одной
точке .
Решение. Имеем 
, т.е. 
и 
.
Функции 
, 
, 
, 
всюду непрерывные, но условия
(4) дифференцируемости ФКП не выполняется ни в одной точке, поэтому нигде не дифференцируемая ФКП.
ПРИМЕР 5. Для ФКП 
имеем 
, 
. Функции 
, , 
, 
всюду непрерывные, условия (4) выполняются
только в точке 
. Поэтому является ФКП, дифференцируемой только в точке 
.
Еще раз подчеркнем, что если ФКП не является непрерывной в точке, то и дифференцируемой она не может быть в этой точке. Но и непрерывная в точке ФКП не всегда является дифференцируемой в этой точке функцией, даже если частные производные действительных компонент ее непрерывны — обязательно должны выполняться условия Коши — Римана.
Задание
1. Проверить дифференцируемость ФКП 
всюду при ; показать,
что 
.
2. Доказать дифференцируемость всюду на –плоскости
ФКП 
, 
, 
, 
; вывести формулы для производных
этих функций.
3. При каких значениях 
и 
ФКП 
дифференцируема всюду?
Ответ: 
, 
, т.е. 
.
