Восстановление аналитической ФКП по известной ее действительной компаненте
Действительная функция 
называется гармонической в области 
,
если она в этой области удовлетворяет условиям:
1) – непрерывна вместе с частными производными первого
и второго порядка;
2) – решение уравнения 
.
Справедлива теорема (см. [1]):
если ФКП 
аналитическая в области ,
то ее действительные компоненты 
и 
являются гармоническими функциями в области .
Это означает, что аналитическую
ФКП можно "построить" в виде 
только из гармонических функций и . Но не любая пара гармонических
функций образует аналитическую ФКП. Например, каждая из функций 
и 
является гармонической всюду
(легко проверить по определению), но 
не является аналитической ФКП, так как
не выполнены условия Коши — Римана (4).
Важным свойством аналитической ФКП является следующее:
если известна только действительная (мнимая)
часть ФКП 
, аналитической в односвязной области
функции, то с точностью до произвольной постоянной может быть найдена и сама
ФКП .
В самом деле, пусть известна
( –
гармоническая функция в некоторой области ). Чтобы "восстановить" , нужно найти 
. Полный дифференциал функции
есть 
. (8)
Поскольку ищем аналитическую в области ФКП , то для нее в этой области должны выполняться условия
Коши — Римана, а поэтому 
в (8) может быть представлен в виде
,
причем, так как
известна, то известно выражение и для .
Задача восстановления функции
по известному ее
полному дифференциалу рассматривалась ранее.
ПРИМЕР 8. Проверить, что функция 
является гармонической на 
–плоскости.
Восстановить так,
чтобы 
.
Решение. 1) 
, 
, отсюда 
на плоскости 
, т.е.
– гармоническая.
2) 
,
поэтому для 
имеем
из условий Коши — Римана 
или 
.
Восстанавливаем 
. Окончательно
получаем 
или
, т.е. 
.
