Пусть ФКП 
определена в точках несамопересекающейся дуги 
, расположенной в 
–плоскости. Дуга 
ориентирована от точки 
к точке 
, причем
точка соответствует
, точка 
.
Рассмотрим произвольное
разбиение дуги 
системой точек 
такое, что 
, 
и 
упорядочены по длине дуги от
точки 
до конечной точки разбиения 
.
Выберем на дуге произвольную систему точек 
так, чтобы точка 
лежала на дуге между точками
и 
(см. рисунок).
Сумма 
, где 
, называется интегральной суммой функции
по дуге , соответствующей
разбиению 
и выбору точек системы 
, ее значение зависит от разбиения
и выбора точек .
Обозначим 
– диаметр разбиения.
Интегралом ФКП
по дуге называется
число (вообще говоря, комплексное число), обозначаемое 
и равное пределу интегральной суммы функции
при 
, независимое от разбиения и выбора точек системы ,
т.е.
. (1)
Доказано (см. [2]), что для
непрерывной на дуге ФКП и кусочно-гладкой дуги
интеграл (1) существует. Впредь будем предполагать эти условия выполненными.
СВОЙСТВА интеграла 
Если в выражении 
выделить действительную и мнимую части, то из существования
интеграла (1) следует существование пределов этих частей, и интеграл (1) представится
в виде суммы двух криволинейных интегралов 2 рода по дуге ,
а именно:
, (2)
где 
,
, 
, 
.
Поэтому свойства криволинейных интегралов 2 рода (по координатам) переносятся на интеграл ФКП (1). Отметим из них следующие:
1) 
(аддитивность по функции);
, 
(аддитивность по дуге);
,
(однородность);
– смена знака значения интеграла при
изменении ориентации дуги.
2) 
,
(
на 
).
3) Если дуга – контур, т.е. 
, то интеграл ФКП по контуру
обозначается 
.
Если 
, то интеграл называется несобственным
интегралом.
4) Оценка интеграла ФКП проводится по формуле
, (3)
если
ограничена на ,
т.е. существует число 
такое, что 
на
; 
– длина дуги .
5) Если дуга
задана параметрически 
т.е. 
, 
, то вычисление интеграла (1)
проводится с помощью вычисления соответствующих криволинейных интегралов (2)
сведением к определенному интегралу
с использованием уравнений дуги:
. (4)
Позднее будут рассмотрены другие способы вычисления интеграла ФКП по дуге и по контуру.
6) 
, так как на окружности 
имеем 
, 
и 
. (5)
Вычисления интегралов ФКП, рассмотренные далее, используют указанные свойства интегралов.
