Одним из важнейших свойств аналитической в области ФКП является независимость интеграла этой функции от дуги (от пути интегрирования).
Пусть 
– однозначная аналитическая в односвязной области
ФКП, дуга 
. Тогда интеграл 
зависит только от начальной
и конечной точек дуги и может быть вычислен по формуле, аналогичной формуле
Ньютона–Лейбница для определенного
интеграла:
,
где 
— первообразная ФКП для , т.е. 
в области .
Заметим, что первообразные элементарных ФКП вычисляются по тем же формулам, что и первообразные для соответствующих функций действительной переменной.
ПРИМЕР 4. Вычислить 
, где 
– произвольная кривая, соединяющая точки
и 
.
Решение. Подынтегральная функция 
– аналитическая всюду на 
–плоскости ФКП, поэтому можно
записать 
(значение интеграла не зависит от выбора дуги ).
Интегрируя по частям, получаем
. (6)
Интегрирование аналитической ФКП по контуру (замкнутой дуге) обычно проводится с использованием теоремы Коши (см. [1]):
если
— однозначная аналитическая ФКП в односвязной области , то интеграл функции по любому контуру, расположенному
внутри области , равен нулю, т.е.
(7)
(теорема верна и для случая, когда – граница области , а непрерывна на 
).
Заметим, что если условие
аналитичности функций нарушается хотя бы в одной точке внутри контура, то
интеграл этой функции по контуру, "охватывающему" особую точку функции,
может быть не
равен нулю.
Теорема Коши обобщается на многосвязную область:
если
— аналитическая ФКП в области ,
ограниченной внешним контуром и внутренними контурами 
, а также аналитическая на
самих контурах и все контуры предполагаются простыми и ориентированными одинаково
(см. рисунок), то значение интеграла по внешнему контуру равно сумме значений
интегралов по внутренним контурам, т.е.
. (8)
Заметим, что если ФКП аналитическая в 
– окрестности точки 
, кроме, быть может, самой точки
, то интеграл 
по контуру , охватывающему
точку 
и расположенному в , не зависит от формы контура, т.е.
. (9)
Поэтому в дальнейшем в качестве
контуров интегрирования
берем, как правило, окружности или контуры достаточно простого строения.
