Пример. Вычислить интеграл 
, 
– целое.
Решение. Если 
, то 
всюду аналитическая ФКП, и по теореме Коши 
при произвольном контуре 
и
любой точке 
.
Если – целое и 
, а контур не охватывает точку ,
то расположен в области аналитичности
ФКП 
и по теореме Коши имеем .
Пусть теперь – целое число, , а контур охватывает
точку ,
тогда по замечанию (9) имеем
.
При 
из (5) имеем 
.
При 
( — целое) получаем , так как
.
ПРИМЕР 6. Вычислить 
.
Решение. Контур интегрирования 
– окружность с центром в точке 
и радиусом 
, поэтому контур не охватывает
особую точку 
. ФКП 
аналитическая внутри
контура и на нем; по теореме Коши интеграл .
Вычислить 
, рассмотрев в качестве контура
окружности: 1) 
;
2) 
; 3) 
.
Ответ: интеграл 
имеет различные значения в зависимости
от
расположения контура интегрирования относительно особых точек подынтегральной
функции, а именно:
1) ;
2) 
; 3) 
.
Вычислить 
.
Ответ: 
.
Вычислить 
.
Ответ: 
. Следует разложить ФКП 
на
простейшие дроби. Обращаем внимание на то, что разложение дробно-рациональной
ФКП на простейшие дроби проводится аналогично тому, как это проводилось в
действительной области. Новым здесь является лишь то, что знаменатель дроби
всегда разложим на линейные множители, при этом коэффициенты
разложения могут быть комплексными числами.
