Пусть ФКП 
– аналитическая в односвязной области 
, произвольный контур 
"погружен" в ,
– произвольная точка внутри
. Тогда в этой
точке значение ФКП определяется через значения на контуре по интегральной формуле
Коши
, (10)
здесь 
,
ориентация контура принимается положительной по отношению к области,
содержащей точку (см. [1 — 5]).
Формула (10) показывает, что
значения аналитической ФКП внутри контура определяются значениями функций
на самом контуре. Например, если ФКП
на равна нулю
(или, вообще, одному и тому же постоянному числу 
), то, как следует из (10), 
(или 
) во всех точках внутри контура
. Действительнозначные
дифференцируемые функции в действительной области подобным свойством не обладают.
Например, 
– определена и непрерывна внутри и на границе круга
. На контуре 
эта функция 
равна
нулю, но в любой внутренней точке круга 
.
В равенстве (10) 
– переменная интегрирования, – параметр. Не доказывая правомерность
дифференцирования по параметру, после последовательного дифференцирования
по тождества (10) получаем
, 
, 
,
, 
. (11)
Интегральные формулы (10),
(11) выражают одно из важнейших свойств аналитической ФКП: если ФКП аналитическая на области (или в точке 
), то сколь угодно раз дифференцируема
на (в точке ), причем производная любого порядка 
в свою очередь является ФКП
аналитической на области ( соответственно в точке ).
Формулы (10), (11) могут быть
использованы при вычислении
интегралов вида 
для ФКП, имеющей внутри контура одну особую точку 
, при этом предполагается, что на самом
контуре подынтегральная функция не имеет особых
точек.
ПРИМЕР 7. Вычислить 
.
Решение. Подынтегральная функция имеет структуру
, где 
– всюду на –плоскости аналитическая ФКП,
, контур 
"погружен" в область аналитичности функции
и "охватывает" точку . Применяя интегральную формулу
Коши (10), получаем
.
Заметим, что интеграл той
же самой ФКП 
по контуру, "не охватывающему"
точку 
, например, по окружности 
, равен нулю (см. теорему Коши).
ПРИМЕР 8. Вычислить 
.
Решение. Особые точки подынтегральной ФКП находятся
из уравнения 
,
т.е. 
, 
.
Внутри контура интегрирования расположена особая
точка .
Подынтегральную функцию можно представить в виде
.
Структура этого выражения
позволяет использовать формулу (10) при 
— аналитической ФКП на контуре 
и внутри него. Получаем из (10) 
.
ПРИМЕР 9. Вычислить 
.
Решение. Особая точка подынтегральной функции
расположена внутри окружности
, причем 
,
т.е. 
. Применяя
соответствующую формулу интеграла Коши (11), получим 
, где 
, 
, 
, т.е. 
.
; 2) 
;
3) 
;
4) 
, где 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
,
где 
.
Ответы: 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) 
; 7) 
.
