Пусть ФКП 
– однозначная аналитическая в некоторой
окрестности 
точки
. Максимальный
радиус 
окрестности аналитичности ФКП в точке 
равен расстоянию от
до ближайшей особой точки функции . В 
имеем по формуле Коши (11) 
, где 
удовлетворяет
условиям: 
и 
.
Разложим дробь 
в степенной ряд по степеням 
в области . Для этого запишем
. (1)
Здесь использована формула
суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии 
при 
, где 
(
— на окружности, т.е. 
, а 
). Подставим разложение (1) в
выражение для , получаем 
–
степенной ряд по ,
коэффициенты которого
, 
(см. [11]).
Окончательно можно записать
, (2)
т.е. однозначная аналитическая в точке ФКП 
представима рядом Тейлора в точке , причем область сходимости этого
ряда совпадает с 
.
Нетрудно убедиться, что разложение
ФКП в ряд Тейлора единственно, т.е. найденное любым способом представление
аналитической в круге 
функции в виде степенного ряда совпадает
с разложением (2). Этот факт часто используется при решении задач.
