Пример. Разложить в ряд ФКП 
по степеням 
.
Решение. 
является всюду аналитической ФКП в –плоскости. Разложение в ряд
по степеням проводится в 
– точке аналитичности 
, поэтому степенной ряд является
рядом Тейлора (Маклорена) этой функции в точке , сходящимся к на всей –плоскости:
, т.е.
, – любое.
Отметим, что ряд получен при
использовании уже известного разложения по для 
.
ПРИМЕР 2. Разложить в ряд по степеням функцию 
.
Решение. Воспользуемся снова формулой суммы всех
членов
убывающей геометрической прогрессии
, 
, (3)
получим
, 
.
Получили ряд Тейлора по степеням
ФКП 
с
радиусом сходимости 
; геометрически это число соответствует радиусу
максимальной окрестности аналитичности в точке , т.е. расстоянию до особой точки 
.
ПРИМЕР 3. Разложить в ряд по степеням 
ФКП 
.
Решение. ФКП имеет особую точку 
, в точке 
она аналитическая, причем максимальная
окрестность аналитичности в точке имеет радиус 
.
После преобразования получаем
для 
.
ПРИМЕР 4. Разложить ФКП 
в ряд по степеням разности
.
Решение. Особые точки функции находим из уравнения
или 
. В точке 
– аналитическая, радиус 
максимальной окрестности аналитичности
есть 
.
Преобразуем так, чтобы разность 
входила в явном виде, и, применив
формулу (3), получаем
, 
.
ПРИМЕР 5. Разложить ФКП 
по степеням разности 
, указать круг сходимости. Здесь
– главная ветвь ФКП 
.
Решение. 
при 
или 
. Поэтому 
, .
Всякий степенной ряд можно почленно интегрировать в области сходимости ряда, причем радиус сходимости сохраняется.
В заключение отметим, что
ряд Тейлора ФКП , как правило, находят не по
определению (2), а используя показанные в примерах 1 — 5 искусственные приемы
разложения.
