Пример. Убедиться, что для ФКП 
ряд Лорана по степеням 
состоит из конечного числа слагаемых.
Решение. Точка 
– единственная особая точка функции,
поэтому 
в кольце
может быть разложена
в ряд Лорана. Разложение удобно провести, используя разложение правильной
рациональной дроби на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов:
. (6)
Это представление функции и определяет ее ряд
Лорана в указанном кольце, т.е. ряд по степеням
состоит из конечного множества (трех слагаемых) слагаемых, образующих главную
часть ряда Лорана.
ПРИМЕР 8. Разложить ФКП 
по степеням 
.
Решение. Точка 
– особая точка функции. Используя разложение 
по степеням , получаем
, 
;
здесь ряд Лорана состоит из правильной части (первое слагаемое) и главной части, имеющей бесконечное множество слагаемых.
Если ФКП имеет несколько особых точек, то разложение ее в ряд Лорана может быть получено в каждом из колец аналитичности; естественно, что получающиеся ряды Лорана различны.
Пусть для определенности имеет только две особых точки: 
и 
, 
. Тогда можно рассмотреть следующие
ситуации.
1. Точка 
не является особой точкой функции, т.е. 
.
Обозначим 
, 
и предположим для конкретности 
.
Тогда ФКП может
быть
разложена по степеням 
в следующие ряды:
1) ряд Тейлора в круге аналитичности 
;
2) ряд Лорана в кольце аналитичности 
;
3) другой ряд Лорана в кольце 
.
2. Точка совпадает с одной из особых точек, например, 
.
Тогда ФКП может быть разложена в ряды:
1) ряд Лорана в кольце аналитичности 
;
2) другой ряд Лорана в кольце 
.
