Знакопеременные ряды
Ряд, имеющий бесконечное множество как положительных, так и отрицательных членов, называется знакопеременным.
Например, знакопеременными являются следующие ряды 
; 
; 
(здесь 
,
,
,
,
и т.д.).
Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды 
,
.
Достаточное условие их сходимости дает следующее утверждение.
ТЕОРЕМА Лейбница *
Если 1) 
; 2) 
, то знакочередующийся ряд 
сходится.
Доказательство. Рассмотрим 
по условию 1,
с ростом 
возрастает. Если сгруппировать слагаемые иначе: 
и учесть неотрицательность вычитаемых чисел, то получим ограниченность последовательности
, т.е. 
. Возрастающая ограниченная сверху последовательность сходится:
– конечное число : 
.
Рассмотрим 
: поскольку 
и 
при 
, то по теореме о пределе суммы последовательностей 
.
Из сходимости подпоследовательностей и к одному и тому же пределу следует сходимость исходной
последовательности 
к 
, а значит, и сходимость ряда 
.
Следствие. Сумма сходящегося знакочередующегося ряда не превосходит первого его слагаемого (взятого по абсолютной величине)
.
Замечание. Условия теоремы Лейбница для сходимости знакочередующегося ряда
являются существенными. Если нарушено одно из этих требований, то ряд может
расходиться. Условие 2) — необходимое условие сходимости (см. ранее). Существенность
условия 1) покажем на контрпримере: рассмотрим знакочередующийся ряд 
, предел его 
-го члена при 
равен нулю, а условие убывания абсолютных величин
слагаемых нарушено. Покажем, что этот ряд расходится. В самом деле, 
и при 
.
Сходимость произвольного знакопеременного ряда иногда можно установить по следующей теореме.
ТЕОРЕМА (достаточное условие сходимости (абсолютной сходимости) знакопеременного ряда)
Пусть ряд 
– знакопеременный. Если ряд из "абсолютных величин"
сходится, то исходный ряд
также сходится.
Обратное утверждение неверно.
Доказательство. По критерию Коши из сходимости ряда 
имеем 
. Оценим соответствующий "отрезок" ряда с 
-го
члена "длиной 
" для
исходного ряда 
.
Итак, для исходного ряда имеем
,
т.е. выполнено условие Коши, и по критерию Коши исходный ряд сходится.
