Пример. Указать все области, в которых возможно разложение функции 
в ряды Лорана по степеням 
. Найти эти разложения.
Решение. Функция имеет две особые точки: 
, 
. Точка 
– точка аналитичности 
, она "окружена" кругом
аналитичности 
, кольцами аналитичности 
и 
.
Поэтому в каждой из этих областей разложима в свой ряд по степеням .
1) ; 
;
воспользовались формулой (3) при 
и . В общей части
этих областей сходимости слагаемых рядов окончательно имеем 
, .
2) ; прежнее разложение для первого слагаемого при
можно использовать.
Для второго слагаемого 
получим разложение в ряд по степеням из (3), используя условие 
,
т.е. 
.
Окончательно имеем при
.
3) ; аналогично получаем
в общей части областей 
и 
, т.е. при .
1. Получить разложение в ряд по степеням 
для в кольце
аналитичности 
.
Ответ: 
– ряд Лорана имеет одно слагаемое в главной части.
2. Разложить ФКП 
в ряд: а) по степеням
в круге ; б) по
степеням 
в кольце
.
Ответы: а) 
– ряд Тейлора;
б) 
– ряд Лорана.
