Пример. Показать, что функция 
имеет УОТ 
.
Решение. Для имеем
,
т.е. в разложении функции по степеням 
отсутствует главная часть ряда Лорана, поэтому
– УОТ для .
ПРИМЕР 11. Показать, что 
имеет СОТ .
Решение. Разложим в ряд по степеням функцию 
, получим
.
Видим, что ряд Лорана содержит
бесконечное множество слагаемых в главной части, поэтому есть СОТ данной функции.
Замечание. Для ФКП
вида 
, где 
и 
–
аналитические ФКП, наличие особых точек типа полюс связано с
существованием нулей знаменателя .
Нулем ФКП 
называется число 
такое, что 
. Всякий многочлен "
"-й степени
(
)
имеет точно "",
вообще говоря, комплексных нулей. Поэтому
многочлен 
может
быть разложен на произведение линейных множителей 
.
Нуль многочлена 
называется простым нулем (или
нулем кратности "1") многочлена , если он встречается только один раз в множестве
всех нулей многочлена
, и называется
нулем кратности "
" ( — целое положительное число, 
), если встречается точно ""
раз в множестве всех нулей многочлена. Для ""-кратного нуля многочлен делится нацело на 
(т.е. отношение 
есть многочлен), но не делится
нацело на 
.
Известно, что точка является нулем ""-й кратности функции
тогда и только тогда, когда 
, 
, 
, 
, 
.
Поэтому если – простой нуль (
) функции и 
, то является для функции
простым полюсом. Если же – нуль ""-й кратности функции
и , то является для ФКП особой точкой типа полюс
""-го порядка.
