Пример Показать, что для ФКП 
точка 
– полюс второго порядка, точка
– полюс первого
порядка.
Решение. Знаменатель 
имеет нули: кратности 
и – простой нуль (
). Учитывая замечание,
получаем требуемый результат (числитель 
ни при каком значении 
не обращается в нуль).
ПРИМЕР 13. Изучить тип особых точек функции 
.
Решение. Поскольку 
есть отношение двух всюду аналитических функций,
то особыми точками могут быть только нули знаменателя. Из уравнения 
имеем 
, 
. При 
получим 
. Отсюда следует, что точка
– УОТ рассматриваемой
ФКП.
Покажем, что точки , 
являются
простыми нулями знаменателя. Для этого воспользуемся следующим соображением:
является нулем "
"-й
кратности функции 
тогда и только тогда, когда является нулем "
"-й
кратности производной 
.
Вычислим 
, где 
. Получим 
или 
, т.е. при любом значении 
– простой нуль знаменателя,
причем при этих значениях числитель не обращается в нуль. Поэтому каждая
из точек , является простым полюсом рассматриваемой
функции.
ПРИМЕР 14. Изучить особые точки ФКП 
.
Решение. Преобразуем 
. При 
функции 
и 
можно заменить эквивалентными бесконечно малыми
функциями.
.
Поэтому является УОТ ФКП . Точки 
, 
и 
, являются простыми полюсами, так как
каждая из этих точек есть нуль первого порядка знаменателя.
1. Изучить особые точки ФКП 
.
Ответ: 
– простые полюса; 
– полюс третьего порядка.
2. Изучить особую точку ФКП 
.
Ответ: – полюс второго порядка, так как
.
3. Показать, что точка является СОТ для ФКП 
,
разложив функцию в ряд Лорана по степеням .
19.4. ИЗУЧЕНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФКП В БЕСКОНЕЧНОСТИ
Исследование поведения ФКП
при 
в общем случае сводится преобразованием
к изучению ФКП
в точке 
.
Ряд Лорана ФКП
в окрестности
(по степеням )
имеет формально тот же вид, что и при разложении в окрестности точки по степеням , т.е. это ряд по степеням
вида 
. Однако
при этом точка
является:
1) УОТ только тогда, когда ряд совсем не содержит членов с положительными
показателями степеней ;
2) полюсом тогда и только тогда, когда ряд содержит конечное
множество членов с положительными показателями степеней ;
3) СОТ тогда и только тогда, когда ряд содержит бесконечное множество
слагаемых с положительными показателями степеней .
ПРИМЕР 15. Для 
точка является полюсом второго порядка, так
как при 
имеем 
. Поэтому – полюс второго порядка функции ,
т.е. – полюс второго
порядка функции . Заметим, что разложена по степеням , причем ряд содержит конечное
множество степеней с положительными показателями.
ПРИМЕР 16. Для 
точка является простым
полюсом, так как при имеем 
.
Поскольку – простой
нуль знаменателя, то – простой полюс дроби, а поэтому также простой полюс .
ПРИМЕР 17. Для ФКП в окрестности имеем 
, т.е. ряд содержит бесконечное
множество членов степеней с положительными показателями.
Поэтому – СОТ
функции 
.
