Основная теорема о вычетах
Пусть ФКП 
аналитическая на границе 
области 
и внутри этой области за исключением
конечного множества изолированных особых точек 
. Построим около каждой особой
точки 
контур 
так, чтобы внутри была только одна особая точка ;
контуры не пересекались; все контуры 
были расположены внутри , ориентация всех контуров совпадает
(см. рисунок). Так как ФКП является аналитической в многосвязной области между
, 
,
, 
, 
, то по теореме Коши для многосвязной
области имеем
.
Или, учитывая формулу (1) для вычета, получаем
. (8)
Итак, интеграл ФКП по контуру в рассматриваемом случае равен произведению
на сумму вычетов функции в изолированных особых точках,
расположенных внутри этого контура.
ПРИМЕР 4. Проиллюстрировать равенство (8) на
примере интеграла от 
по контуру 
.
Решение. Интеграл 
вычислим, разложив подынтегральную функцию на
простейшие дроби 
.
Воспользуемся свойством аддитивности интеграла:
(см. (5) в гл. 3).
Теперь вычислим интеграл по формуле (8) через
вычеты. Точки 
и 
– простые полюса, в них имеем
;
, т.е. 
.
Как следствие основной теоремы
о вычетах имеет место следующее утверждение: если ФКП – аналитическая всюду, кроме конечного множества
особых точек, то сумма вычетов этой функции во всех особых точках и вычета
в бесконечности равна нулю, т.е.
. (9)
