Пример. Вычислить 
.
Решение. Подынтегральная функция всюду аналитическая,
кроме 
. По формуле (8) 
. Чтобы найти вычет функции
в СОТ, следует разложить ФКП в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. по
степеням 
. Для этого преобразуем
.
Далее воспользуемся разложениями
функции 
и 
в степенные ряды по 
и получим
.
Отсюда коэффициент 
перед слагаемым 
находится в виде 
, т.е. 
, 
.
ПРИМЕР 8. Вычислить 
.
Решение. Подынтегральная функция имеет особые
точки: 
вне контура 
, 
, 
– пять особых точек, расположенных
на окружности 
внутри контура интегрирования. Можно вычислить
интеграл по формуле (8)
,
,
т.к. 
.
Но проще воспользоваться формулой
(9) и заменить сумму
вычетов 
через
. Поскольку
— простой полюс, то имеем
.
Для нахождения 
разложим 
по степеням
в области 
:
, отсюда 
, т.е. 
.
Окончательно получаем 
.
ПРИМЕР 9. Вычислить 
.
Решение. Подынтегральная функция имеет особые
точки: 
– полюс 5-го порядка и 
— полюса 6-го порядка. Поэтому вычисление интеграла по основной теореме о
вычетах сопровождается громоздким счетом. Удобнее провести вычисление с использованием
вычета функции в точке 
, т.е. применяя соотношение (9)
.
Поскольку подынтегральная
функция имеет вид 
– отношение многочлена 
и многочлена 17-й степени, то представление в виде ряда по степеням , очевидно, содержит слагаемое
, т.е. 
и 
. Очевидно, имеем 
.
1. Вычислить интегралы: а) 
; б) 
;
в)
; г)
, где 
.
Ответы: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
2. Доказать равенства: а) 
;
б) 
;
в) 
.
