Интегрирование функции действительной переменной методами теории ФКП
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Пусть требуется вычислить
интеграл вида 
, здесь 
– некоторая рациональная функция
двух переменных, 
– переменная интегрирования, 
. Введем замену 
, где 
. Тогда отрезок интегрирования
отображается в
окружность 
, 
комплексной плоскости, при этом 
; 
, 
,
. (1)
Получили контурный интеграл
от дробно-рациональной ФКП,
который, вообще говоря, может быть вычислен, например, по основной теореме
о вычетах; конечно, при этом не гарантируется простота счета.
ПРИМЕР 1. Вычислить 
.
Решение. Проведем замену переменной
.
Особые точки подынтегральной функции 
– простые полюса. Внутри контура 
расположена точка 
, поскольку 
. Поэтому получаем
.
ПРИМЕР 2. Вычислить 
.
Решение. Разобьем интеграл на два слагаемых интеграла,
причем 
. Поэтому
.
ПРИМЕР 3. Вычислить 
.
Решение. Разобьем интеграл на сумму интегралов,
выделив целую часть: 
. Получаем
,
где 
.
Особые точки подынтегральной
функции 
и 
– простые полюса; внутри контура
интегрирования лежит , поэтому 
и окончательно
.
1.Вычислить 
. Ответ: 
(аналогично примеру 1).
2.Вычислить
.
Ответ: . Разбить на два интеграла 
в силу периодичности подынтегральной функции.
3.Вычислить 
.
Ответ: 
. Используем свойство четности
подынтегральной функции с периодом 
:
, здесь 
.
