Вычисления несобственного интеграла
ПРИМЕР 7. Вычислить 
.
Решение. Введем вспомогательную функцию 
. Очевидно: если 
,
то 
совпадает с подынтегральной функцией.
ФКП 
удовлетворяет условиям
леммы Жордана (первая форма). В верхней полуплоскости находится особая точка
функции 
. По формуле (4) имеем:
.
Отделяя слева и справа мнимые части, получаем 
. В силу четности подынтегральной
функции окончательно имеем 
.
Задание. Вычислить 
.
Ответ: 
.
Замечание. При использовании формул (1) и (4) существенным является отсутствие
особых точек ФКП на оси 
. Рассмотрим пример, для решения которого не применима
формула (6).
ПРИМЕР 8. Вычислить 
.
Решение. Подынтегральная функция есть 
, где 
. Для соответствующей ФКП 
особые точки 
, 
, 
, причем точка расположена на оси , 
– в верхней полуплоскости.
Рассмотрим контур 
(см. рисунок), составленный из отрезков 
, 
и полуокружностей 
, 
, 
, предполагая 
достаточно малым, 
, а 
– достаточно большим числом, 
, с тем, чтобы контур охватывал особую точку 
. Тогда по основной теореме о вычетах
имеем
,
где
. (7)
Ориентация контура 
и его частей указана на рисунке.
Для выполнена лемма Жордано
(первая форма), т.е. 
.
Рассмотрим 
, здесь 
, 
, поэтому
.
При 
и 
равенство (7) запишется в виде
или
.
Выделяя мнимую часть результата, находим окончательно
.
