Дифференцирование оригинала
Если 
, а функции 
– оригиналы, то справедливы соотношения
то 
(7)
где 
, 
.
В самом деле, из формулы (1) после интегрирования по частям получаем 
, т.е. 
.
Здесь, как и ранее предполагалось, 
, и поэтому имеем 
, т.е. 
.
Применяя полученную формулу к функции 
, получаем соотношение
или 
.
Методом математической индукции устанавливается справедливость соотношений
(7) при каждом значении 
.
Формулы (7) становятся более простыми при 
для . В этом случае имеем
, 
, 
, 
,
т.е. видим, что дифференцирование оригинала 
сводится к умножению на 
изображения 
.
Изображения функций и их производных используются при решении линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами вида 
(8)
с начальными условиями 
,(9)
здесь 
– искомое решение; 
– заданные числа.
Предположим, что искомое решение этой задачи Коши дифференциального уравнения
и его производные 
,
, а также функция являются оригиналами. Тогда, используя
свойства изображений, можно перейти от дифференциального уравнения (8) с начальными
условиями (9) к операторному уравнению
, где 
, .
Это уравнение является линейным алгебраическим уравнением относительно 
.
Разрешив его, найдем 
– изображение
искомого решения . Далее по 
восстанавливаем оригинал – требуемое решение задачи Коши (8) — (9).
ПРИМЕР 8. Найти решение дифференциального уравнения 
при 
.
Решение. Переходим к операторному уравнению: полагаем 
, находим 
и записываем 
. Из этого уравнения получаем 
или 
. Для восстановления
по его изображению можно
разложить на простейшие дроби
.
Коэффициенты разложения 
найдем методом неопределенных коэффициентов, приводя
дроби в правой части к общему знаменателю и приравнивая числители. При любых
имеем 
, в том числе
при 
получаем 
или 
;
при 
или 
; при 
или 
.
Окончательно имеем 
.
Используя свойства изображения и пример 6, получаем
, 
.
Непосредственной подстановкой в заданное уравнение можно убедиться в правильности полученного
решения.
