Интегрирование оригинала
Если 
– оригинал и 
, 
, то функция 
также является оригиналом, причем
, ,
(10)
т.е. интегрированию оригинала соответствует деление изображения на 
.
В самом деле, функция удовлетворяет определению оригинала:
1) по свойству определенного интеграла с переменным пределом функция 
либо непрерывна всюду, либо имеет конечное число точек разрыва первого рода
на произвольном отрезке конечной длины;
2) 
при 
,
так как 
при , причем 
;
3) для 
, здесь использованы свойства
оригинала , 
– показатель роста функций и .
Обозначим изображение функции через 
. По свойству интеграла с переменным верхним пределом
и 
(см. формулу (7)). Из равенства 
устанавливаем (10).
ПРИМЕР 9. Применить формулу (10) к степенным функциям 
, 
.
Решение. Представим 
, получим соотношение 
, аналогично 
, т.е. 
. В общем случае 
.
6. Дифференцирование изображения
Дифференцированию изображения соответствует умножение оригинала на 
,
т.е.
, (11)
.
В самом деле, поскольку 
– аналитическая функция комплексной переменной в полуплоскости
, то ее можно дифференцировать по (под знаком интеграла); получаем
,
т.е. 
; аналогично для 
.
ПРИМЕР 10. Найти изображение для оригинала 
.
Решение. Из примера 6 имеем 
. Применяя правило дифференцирования изображения, получаем
, т.е. 
;
, т.е. 
;
после "
"-кратного дифференцирования приходим к соотношению
.
ПРИМЕР 11. Найти изображение оригинала 
.
Решение. Из примера 7 имеем 
. Изображение функции найдем дифференцированием по функции
и умножением этой производной
на 
, т.е.
.
