Интегрирование изображения
Если функция 
удовлетворяет условиям существования изображения и 
,
то справедливо соотношение
, (12)
т.е. интегрированию изображения соответствует деление на 
оригинала.
Обоснование этого утверждения подробно изложено в [2].
ПРИМЕР 12. Найти изображение функции 
.
Решение. Имеем 
. В силу соотношения (12) получаем
.
Применяя операцию интегрирования оригинала, можем записать
.
Задания
Пользуясь простейшими свойствами преобразования Лапласа, получить изображения
следующих оригиналов: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
.
Ответы: а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
;
д) 
.
Для дифференциального уравнения
при 
, 
, 
записать соответствующее операторное уравнение, решить
его. Найти решение дифференциального уравнения.
Ответ: операторное уравнение имеет вид
или 
,
откуда 
, т.е. 
, 
.
Найти изображение для 
и 
.
Ответ: 
и 
.
Признак Абеля.
; 
тогда 
сходится
Доказательство:
Доказано.
Пример 1:
: 
Докажем, что эти ряды сходятся условно:
Докажем,
что ряд 
расходится. Так как 
, рассмотрим следующий ряд:
.
Значит, ряд
