Теорема о сдвиге аргументов оригинала и изображения
Теорема (о запаздывании оригинала)
Если 
и 
, то для 
справедливо соотношение
.
(13)
Иначе говоря, если процесс, описываемый оригиналом 
, запаздывает на по сравнению с первоначальным 
(см. рисунок), то изображение, соответствующее
этому процессу, получается умножением изображения первоначального оригинала на
. В самом деле, для оригинала 
по определению (1) изображение запишется в
виде
, поскольку для каждого 
. Проведем замену переменной 
,
. Тогда
.
ПРИМЕР 13.
Найти изображение прямоугольного импульса амплитуды 
продолжительностью 
с запаздыванием
(см. рисунок).
Решение. Импульс
можно записать аналитически с помощью единичной функции в виде
Используя свойства преобразования Лапласа и теорему о запаздывании оригинала, получаем
.
Замечания:
1. При использовании теоремы запаздывания оригинала рекомендуется всегда оригинал
записывать с множителем 
. В противном случае возможны ошибки. Например,
для оригинала 
, а для оригинала 
.
2. Теорема запаздывания оригинала используется для нахождения изображения кусочно-непрерывных функций (иногда их называют "склеенными" функциями).
ПРИМЕР 14. Найти изображение оригинала
Решение.
Можно записать 
. Тогда 
.
Здесь имеем 
и
Суммируя
эти функции на промежутках 
, 
, 
, получаем значение функции .
Степенные ряды
Степенными
рядами называются ряды вида 
, где an, x0 –постоянные, x — переменная.
Мы
будем рассматривать ряды с x0 = 0, т.е. 
1
теорема Абеля. Пусть 
сходится при некотором x0. Тогда для любого
"h<
ряд 
сходится равномерно на [-h;h]
Доказательство:
Так как сходится, то 
, где M>0 — некоторая постоянная.
сходится 
по признаку Вейерштрасса 
Следствие: 1) Область сходимости степенного ряда D может быть одним из следующих множеств:
D=
, где R — радиус сходимости.
Любой
степенной ряд сходится в точке x=0. В остальных случаях ряд сходится при всех
, если R — радиус сходимости (точная верхняя грань множества
x, для которых ряд сходится)-существует. Если точной верхней грани нет, то полагают
- ряд сходится на всей числовой
прямой.
Приведём примеры:
Чтобы найти радиус сходимости, можно воспользоваться признаками сходимости знакопостоянных рядов Даламбера, либо Коши.
Признак Даламбера:
Признак Коши: 
Примечание. Если ни один из указанных пределов не существует, то нужно положить радиус сходимости равным нижнему пределу (наименьшему частичному пределу) выражения для R.
