Изображение периодического сигнала
Если 
есть 
–периодическая функция, то 
– периодический оригинал. График его есть график
функции, построенный на 
и периодически продолженный на 
.
Представим изображение периодического оригинала в виде
.
Во
втором интеграле проведем замену переменной интегрирования 
.
Тогда
,
отсюда
. (15)
ПРИМЕР 18. Найти изображение периодического прямоугольного импульса (см. рисунок).
Решение. Вычислим интеграл 
.
Применяя формулу (15), получаем изображение
.
ПРИМЕР
19. Восстановить периодический сигнал (оригинал) по известному его изображению
, 
.
Решение. Представим 
в виде суммы функционального ряда, пользуясь формулой
суммы убывающей геометрической прогрессии:
,
здесь
для 
. Оригинал запишем, используя формально свойство аддитивности
преобразования Лапласа для бесконечного множества слагаемых:
.
График оригинала представлен схематично на рисунке.
Задание
Найти изображение периодического оригинала, схематично заданного на
рисунке.
Ответ: 
.
2. Восстановить оригинал для 
. Оригинал представить схематичным рисунком.
Ответ:
22.5. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА
Для использования операционного исчисления при решении задач нужно не только уметь находить изображение оригинала, но и по изображению восстанавливать соответствующий ему оригинал. Для этого полезны следующие таблицы.
Дифференциальные уравнения
Определение: Дифференциальным уравнением
называется уравнение вида 
, где
- функция, определенная в некоторой
области 
пространства 
, 
- независимая переменная, 
- функция от 
, 
- ее производные.
Определение:
Порядком уравнения n называется наивысший из порядков производных , входящих в уравнение.
Определение:
Функция 
называется решением дифференциального уравнения
на промежутке 
, если для всех
из 
выполняется равенство: 
. Дифференциальному уравнению удовлетворяет
бесконечное множество функций, но при некоторых условиях решение такого уравнения
единственное.
Определение: Интегральная кривая – это график решения дифференциального уравнения, т.е график функции, удовлетворяющей этому уравнению.
