Пример. Найти оригинал для изображения 
.
Решение. Имеем 
(см. пример 7). Интегрируя оригинал (см. табл. 1), получаем
.
Рассмотрим несколько примеров нахождения изображений и восстановления оригиналов с помощью табл. 1 и 2.
ПРИМЕР 22. Найти оригинал 
, если его изображение есть 
.
Решение. Изображение разложим на простейшие
дроби: 
. Но 
, 
. Окончательно имеем 
.
ПРИМЕР 23. Пусть 
. Найти .
Решение. 
.
Пользуясь таблицей, находим 
, 
, следовательно, 
.
ПРИМЕР 24. Пусть 
. Найти .
Решение. Преобразуем заданное изображение:
.
Воспользуемся
свойством интегрирования оригинала: по таблице находим 
,
тогда 
.
Из табл. 2 находим 
, или 
. Следовательно, искомый оригинал 
.
Пример:
~
=> ряд сходится при α>1, и расходится при α≤1.
Расходимость ряда n*ln(n)
=> ряд расходится.
Знакопеременные ряды
Пусть 
и ряд 
сходятся одновременно, то А также и при этом говорят,
что ряд A сходится абсолютно.
Если 
сходится, – расходится, то А сходится условно.
Признак Лейбница.
(монотонно стремится к 0), тогда A сходится.
Доказательство:
Т.к. 
.
, 
, то есть последовательность частичных
сумм A2n убывает, а A2n+1
возрастет.
Каждая из последовательностей A2n и A2n+1 ограничена и
Следовательно, 
.
Заметим, что:
.
