Обращение преобразования Лапласа
Задача восстановления оригинала по известному изображению в общем случае сводится к необходимости рассмотреть обратное преобразование Лапласа. Вопрос о единственности, достаточные условия существования, формулы для нахождения обратного преобразования Лапласа излагаются подробно, например, в [2]. Укажем основные теоремы этой теории.
Теорема (существования оригинала)
Пусть функция 
комплексной переменной 
удовлетворяет следующим условиям:
– АФКП в области 
;
в области
функция стремится к нулю при 
равномерно относительно 
;
для всех 
сходится интеграл
,
. (16)
Тогда функция при является изображением функции 
действительной переменной 
, которая определяется выражением
,
, (17)
Интеграл (16) представляет
собой несобственный интеграл от действительной функции 
по прямой 
. Несобственный интеграл
(17) вычисляется вдоль прямой и понимается в смысле главного значения. Равенство (17)
имеет место в точках непрерывности функции ("почти всюду").
Применяя методы вычисления контурных интегралов ФКП (см. п.6.3) на основе леммы Жордана, можно получить следующие теоремы для вычисления интеграла (17).
Теорема 1
Пусть изображение аналитически продолжимо на полуплоскость 
, причем продолженная функция удовлетворяет
условиям:
при
имеет конечное число изолированных особых точек 
;
при стремится к нулю равномерно
относительно 
.
Тогда интеграл (17) вычисляется по формуле
.
(18)
Теорема 2 (о рациональном изображении)
Пусть изображение есть правильная несократимая рациональная дробь 
,
. Пусть знаменатель 
имеет корни 
кратности соответственно 
так, что 
, 
.
Тогда оригинал может быть найден по формуле
.
(19)
Частный случай теоремы (о рациональном изображении) для ситуации,
когда все корни знаменателя 
являются простыми, т.е. 
, 
, позволяет находить оригинал по формуле
.
(20)
ПРИМЕР 27. Найти оригинал , соответствующий изображению 
.
Решение. Знаменатель имеет корни 
кратности 
и 
кратности 
. Находим вычеты функции 
в полюсах 
и 
, а именно
.
Аналогично
.
Окончательно искомый оригинал запишется в виде
,
.
ПРИМЕР 28. Найти оригинал
, если изображение его есть 
.
Решение. Знаменатель имеет только простые
нули 
, 
. Поэтому
.
Итак,
, .
