Примеры применения операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений
ПРИМЕР. Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее
начальным условиям 
.
Решение. Обозначим изображение искомого решения
через 
, т.е. 
, тогда 
.
Правую часть уравнения 
представим в виде 
, поэтому изображение ее есть 
.
От дифференциального уравнения переходим к операторному
,
откуда
,
.
Рекомендуем всегда проводить проверку найденного решения, т.е. убедиться, что найденная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению и указанным в задаче начальным условиям.
ПРИМЕР
30. Найдите решение системы дифференциальных уравнений 
удовлетворяющее начальным условиям 
,
, 
.
Решение. Обозначим , 
, 
. Тогда 
, 
, 
.
Каждое из дифференциальных уравнений системы
заменим операторным уравнением: 
Полученную систему линейных алгебраических уравнений решаем методом Крамера:
,
и 
или 
.
Аналогично
;
.
Ответ:
; 
;
,
. Рекомендуем провести проверку
полученного результата.
В курсах теоретических основ электроники и радиотехники часто решаются линейные неоднородные дифференциальные уравнения, правая часть которых — "склеенная" функция.
Рассмотрим пример решения уравнения подобного типа.
ПРИМЕР 31. Найти решение уравнения
при .
Решение. Пусть , тогда и левая часть уравнения имеет изображение 
. Чтобы найти изображение правой части
уравнения, запишем 
через единичную функцию Хевисайда: 
.
По теореме запаздывания имеем
.
Итак, данное дифференциальное уравнение переходит
в операторное уравнение 
, решение
которого
.
Находим оригиналы слагаемых:
;
.
Поэтому имеем 
или 
Задания
Решить уравнение 
при 
.
Ответ: 
.
Решить систему уравнений 
при 
, 
. Ответ: 
Решить дифференциальное уравнение 
при , где функция задана графиком как треугольный импульс (см. рисунок).
Ответ:
если – решение и ,
,
то 
. Имеем
и
.
