Свертка односторонних функций, ее свойства. Теорема Бореля
Сверткой
функций 
и 
, заданных на 
, называется функция, равная интегралу 
, 
; она обозначается 
,
т.е.
, 
.
(21)
Свойства свертки
1. Симметрия, т.е. 
.
В самом деле, изменяя порядок интегрирования
и полагая 
, получаем равенство
.
2. Если и – оригиналы, то и их свертка также является оригиналом
с показателем роста, равным наибольшему из показателей роста функций
и . Рекомендуем доказать самостоятельно это утверждение
или же посмотреть в [3].
ПРИМЕР 32. Найти свертку функций 
и 
.
Решение. 
, здесь ко второму интегралу применено интегрирование
по частям.
Теорема Бореля
Если функции и – оригиналы и 
, 
и 
, 
, то произведение изображений 
является изображением свертки соответствующих
оригиналов для 
:
.
(22)
В самом деле, по определению изображения имеем
.
Замечаем,
что справа стоит двойной интеграл с областью интегрирования 
,
изображенной на рисунке. Изменяя в этом интеграле порядок интегрирования, получаем
.
Замена переменной
интегрирования 
позволяет записать
.
Поскольку
внутренний интеграл не зависит от 
, а внешний от 
, то двойной интеграл равен произведению двух
интегралов, т.е.
.
Теорема Бореля применяется для нахождения оригинала в случае, когда изображение представлено в виде двух множителей, для каждого из которых оригинал устанавливается.
Ряды Тейлора
Применяя последовательно теорему о почленном дифференцировании степенного ряда, получим соотношение для n-го коэффициента ряда.
Пусть 
, R — радиус сходимости. Тогда 
Доказательство:
- коэффициенты степенного ряда Тейлора
, т.е. ряд Тейлора для функции f(x) не всегда совпадает
с самой функцией.
