Числовые ряды в комплексной области
Всякому комплексному числу 
, где 
и 
– действительные числа, ставится в соответствие точка
на плоскости. Множество всех
комплексных чисел 
обозначается через 
и соответствует точкам плоскости (говорим о комплексной
плоскости). Различные формы записи комплексного числа и правил действий с
комплексными числами рассмотрены ранее ([5], [7]).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть 
– некоторое множество комплексных чисел. Если каждому
значению 
на множестве (записываем 
) соответствует по правилу 
одно или несколько комплексных чисел 
,
то есть комплекснозначная функция 
комплексной переменной , определенная
на множестве (записываем 
,
).
Здесь ограничимся рассмотрением только однозначных функций , .
ПРИМЕР 1. Функция 
, 
– однозначная комплекснозначная функция комплексной переменной
, так как при возведении в
целую положительную степень числа получим единственное значение 
. Область определения функции — вся
комплексная плоскость, т.е. 
.
ПРИМЕР 2. Функция 
тоже однозначная; определена она во всех точках ,
кроме 
.
Умножая числитель и знаменатель на сопряженное значение , т.е. на 
, получаем 
, или 
, или 
, т.е. можно выделить действительную и мнимую части функции
, где 
, 
.
Задание комплекснозначной функции комплексной переменной 
, эквивалентно одновременному заданию
двух действительнозначных функций 
и 
, каждая из которых есть функция двух переменных
и и определена на ,
, 
.
Понятие последовательности комплексных чисел вводится аналогично понятию последовательности действительных чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество значений комплекснозначной функции 
при 
, записанное в порядке возрастания 
, образует числовую последовательность
, где 
.
Числовая последовательность 
состоит из комплексных чисел 
(иногда вместо 
пишут 
). Здесь 
и 
– числовые последовательности действительных чисел, 
,
