Формулы Дюамеля. Применение их к решению дифференциальных уравнений
Иногда изображения приводятся к виду 
, причем оригиналы изображений 
и 
известны, т.е. 
и 
. Тогда оригинал изображения 
можно найти через оригиналы 
и 
следующим образом.
Выражение можно записать в виде
или
.
По свойству
дифференцирования оригинала имеем 
и 
Применяя теперь теорему Бореля к изображениям
и , получаем
или
. (23)
Аналогично получается формула
.
(24)
Соотношения (23) и (24) называются формулами Дюамеля, а интегралы
в правых частях формул называются интегралами Дюамеля. Заметим, что можно использовать
свойство симметрии свертки функций 
и , а также 
и , и получить еще две формулы Дюамеля:
.
(25)
. (26)
Формулы Дюамеля применяются, например, для решения дифференциальных уравнений в некоторых ситуациях.
Пусть известно решение 
линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
с единичной правой частью и нулевыми начальными условиями в нуле:
,
(27)
. (28)
Найти
решение аналогичного дифференциального уравнения с правой частью :
(29)
при тех же начальных условиях (28).
Решение задачи. Предположим,
что искомое решение 
, функция и решение уравнений (27) — (28) являются оригиналами, причем 
,
, 
. Тогда для дифференциальных уравнений (27) — (28) и (29)
– (28) операторные уравнения запишутся соответственно
и
.
Разделив равенства,
получим 
или 
. Применяя к 
формулы Дюамеля (23) — (26), получим решение уравнения
(29) при (28), например, в виде 
или 
и т.д.
ПРИМЕР 35. Найти решение дифференциального
уравнения 
при 
.
Решение. Рассмотрим вспомогательное
уравнение 
при . Ему соответствует решение 
, 
.
Для решения исходного уравнения воспользуемся
формулой Дюамеля (24) при 
и , получаем
.
Итак, решение уравнения есть
.
Теорема Бореля и формулы Дюамеля дают дополнительные возможности нахождения оригинала по изображению.
Задание
Используя формулу Дюамеля, решить дифференциальное
уравнение 
при .
Ответ: 
, .
Проверить, что 
– решение дифференциального уравнения 
при . Найти решение уравнения 
при .
Ответ: 
, .
