Теорема Фурье
Пусть функция 
1) абсолютно интегрируема на 
; 2) кусочно-гладкая на 
при любом 
. Тогда имеет место
интегральная формула Фурье (5).
Заметим, что проведенный предельный переход от ТРФ к ИФ требует специального
обоснования. Нельзя переходить к пределу при 
непосредственно в ряде, так как обычная
интегральная сумма рассматривается на промежутке конечной длины, причем подынтегральная
функция не меняется с уменьшением длин отрезков разбиения.
Полное доказательство теоремы Фурье изложено, например, в [15].
Теорема Фурье выражает лишь достаточные условия представимости функции ее
ИФ. Существуют непериодические функции, для которых интегральная формула Фурье
имеет место, хотя функция не является абсолютно интегрируемой на .
Интегральную формулу (5) записывают также в следующем виде:
. (6)
Знак 
("равно почти всюду") в формуле (6) понимается
так же как для ТРФ: ИФ имеет значение , если 
– точка непрерывности функции , и ИФ имеет значение, равное полусумме значений
пределов слева и справа функции в этой точке, если – точка разрыва .
ИФ является двойным несобственным интегралом, причем внутренний интеграл
вычисляется по 
(
, – фиксированы); внешний интеграл — по (должна получиться функция аргумента
). Заметим, что внешний интеграл
вычисляется как несобственный интеграл в смысле "главного значения".
Представление непериодической функции по формулам (5) и (6) называют разложением
функции в ее ИФ.
Теорема Дирихле о перестановке членов абсолютно сходящегося числового ряда.
Теорема: Пусть ряд
сходится абсолютно, 
. Тогда, для любой перестановки ряда 
новый ряд сходится. При этом, ряд
A¢ сходится абсолютно и его сумма равна сумме исходного ряда, то есть
A = A¢.
Доказательство:
1)
k — фикс., 
, тогда 
и 
.
Аналогично рассматривается ряд А, как полученный перестановкой
членов 
:
.
Доказано.
2) an — произвольного знака. Пусть тогда:
;
– сходится, 
– сходится, так как ряд A сходится абсолютно 
.
Применяя к и результат из 1), получим полное доказательство.
Доказано.
