Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Математика задачи операционное исчисление

Спектральные характеристики функции

Если непериодическая функция представлена ИФ по формуле (6), то функция

, (7)

называется спектральной функцией (или спектральной плотностью функции) . Отметим, что вводится с точностью до постоянного множителя (масштаба) и является, как правило, комплексно-значной функцией частоты .

Действительно-значные функции частоты

, , (8)

называются амплитудной и фазовой спектральными функциями (характеристиками) непериодической функции (соответственно АЧХ и ФЧХ сигнала ).

Эти функции и их графики называются также соответственно амплитудными и фазовыми частотными спектрами функции .

Некоторые свойства спектров

1. Поскольку для , то функция четная, а функция нечетная. Поэтому амплитудный частотный спектр симметричен относительно оси , а фазовый частотный спектр симметричен относительно точки .

2. Из (7) имеем

.

Применяя лемму Римана–Лебега [15], для кусочно-гладкой функции получаем , а поэтому , т.е. амплитудный частотный спектр функции при асимптотичен по отношению к оси .

3. Если положить , , то фазовый частотный спектр функции ограничен.

ПРИМЕР 1. Функцию представить ИФ. Найти и построить ее спектры.

Решение. Поскольку , то функция абсолютно интегрируема на . На всяком отрезке конечной длины кусочно-гладкая. Поэтому она представима ИФ.

Поскольку , то имеем разложение , .

Графики спектральных характеристик

и

изображены на рисунке. Здесь можно проследить указанные ранее свойства частотных спектров.

Сопоставим понятия ТРФ и ИФ, параллельно выписывая свойства и термины.

ТРФ	ИФ
– –периодическая функция, ; – дискретная переменная — принимает значения ; – сумма функционального ряда; , – комплексная последовательность коэффициентов Фурье определяет дискетный частотный спектр функций . Разложение в ТРФ есть представление периодической функции в виде "суммы" счетного множества гармоник , .	– непериодическая функция, ; – непрерывная переменная — принимает значения ; – несобственный интеграл; , – комплекснозначная спектральная функция определяет "сплошной" частотный спектр функции . Разложение в ИФ есть представление непериодического сигнала в виде "суммы" континуального множества колебаний с частотами .