Различные записи интеграла Фурье
ИФ функции 
в (5) или в (6) обычно называют ИФ в комплексной форме.
Для действительно-значной непериодической функции ее ИФ можно записать в действительной форме.
Воспользуемся формулой Эйлера для выражения 
в (5), получим для 
Если функции и 
ограничены и абсолютно интегрируемы на 
, то интеграл (18) существует, равномерно
сходится по 
на , является абсолютно интегрируемой на функцией. Если к тому же функции
и непрерывны на , то их свертка также непрерывная на
функция (см. [1] — [5]).
Используя определение (18), можно проверить следующие свойства операции свертки:
1)
коммутативность 
;
2) ассоциативность 
;
3) дистрибутивность 
.
ПРИМЕР 12. Найти 
, если
Решение. По определению
, где 
Возьмем 
. Тогда 
, поскольку на 
, на 
. Возьмем 
. Тогда имеем
.
Итак, окончательно получаем
Заметим, что свертка "односторонних" функций, рассмотренная ранее в преобразовании Лапласа, согласуется с определением (18).
Теорема (о свертке оригиналов)
,
т.е. свертка двух оригиналов при преобразовании Фурье соответствует умножению их изображений.
Доказательство.
Функции 
и 
предполагаем ограниченными, непрерывными и абсолютно
интегрируемыми на , поэтому их свертка обладает теми же свойствами и для
нее можно рассматривать изображение по Фурье
.
Теорема (о свертке изображений)
,
т.е. умножение оригиналов соответствует свертке их изображений.
Доказательство проводится аналогично.
Пример:
Общее решение уравнения будет: 
; особое решение : 0=x + 2C
Проверим, что последняя функция действительно является
решением исходного уравнения: 
Дифференциальное уравнение n-ного порядка
Общее решение в неявном
виде (должно содержать n произвольных независимых постоянных): 
Либо общее решение может
быть найдено в явном виде: 
