Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Математика задачи операционное исчисление

ПРИМЕР 13. Проиллюстрировать теорему о свертке оригиналов для функций примера 12.

Решение. Имеем , ,

.

23.7. СВЯЗЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

ПЛ	ПФ
Оригинал , 1) ; 2) на имеет не более чем конечное множество точек разрыва и только 1го рода; 3) . Изображение (по Лапласу) , здесь , .	Оригинал , 1) ; 2) на представима ТРФ. Изображение (по Фурье) , здесь .

Заметим, что для существования – изображения по Фурье для требуются более жесткие условия. Даже такие часто встречающиеся функции, как , , , , и т.д., не являются абсолютно интегрируемыми на .

Для того чтобы расширить множество функций, к которым применимо ПФ, иногда применяют ПФ не к , а к функции , где – некоторое неотрицательное число, , а затем изучают при . Полученные результаты требуют проверки.

Очевидно, что если функция , – одновременно оригинал (по Лапласу) и оригинал (по Фурье), то ее изображение (по Лапласу) и изображение (по Фурье) связаны соотношением

.

ПРИМЕР 14. Найти , где

 — параметры.

Решение. Функция – финитная, одновременно оригинал для ПЛ и для ПФ, причем

.

Поэтому .