Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА

Свет, у которого направления колебаний вектора упорядочены каким-то образом, называется поляризованным.

Световая волна (16.5) - это электромагнитная волна, у которой вектор всегда перпендикулярен направлению распространения (16.2). Естественный свет (16.5.5.1.) - это смесь огромного числа цугов, каждый цуг поляризован, но направления векторов этих цугов различное. Поэтому естественный свет не поляризован, у него отсутствует какое-либо упорядочение направлений колебаний вектора

Плоско поляризованная электромагнитная волна

Электромагнитная волна, у которой вектор колеблется в одной плоскости, называется плоско поляризованной.

Принцип действия поляризатора электромагнитной волны

Пусть на пути электромагнитной волны расположена решетка из тонких, длинных, расположенных на расстоянии a < λ друг к другу проводников.

 

Если падающая на такую решетку электромагнитная волна поляризована так, что вектор параллелен проводникам, то волна через решетку не пройдет. Произойдет это по следующим причинам:

а) вектор падающей волны будет действовать на электроны проводников с силой (9.3.5);

б) электроны под действием этой силы начнут совершать вдоль проводников вынужденные колебания (14.5);

в) колеблющиеся электроны будут излучать электромагнитные волны (16.4.2) такой же частоты, что и падающая волна и такой же амплитуды, но фаза будет отличаться от падающей на π;

г) складываясь, эти две волны за решеткой погасят друг друга (18.1.2.1), а перед решеткой возникнет отраженная волна.

Если же падающая волна поляризована так, что вектор перпендикулярен проводникам, то заметных колебаний электронов в этом направлении возникнуть не может, амплитуда вторичной волны будет ничтожна, и первичная волна пройдет через решетку, не изменив свою интенсивность.

Поляроид

Для света длина волны λ = (0,4-0,76) 10^-6м и изготовить решетку с периодом a < λ не так просто. Но роль решетки могут играть очень длинные углеводородные молекулы, растянутые в определенном направлении. Электроны могут перемещаться вдоль таких молекул, как вдоль проводников, и не могут - поперек. Таким образом, световая волна с вектором , направленным вдоль молекул поляроида, не пройдет через него. Волна, с вектором поперек молекул, пройдет почти без изменения интенсивности. Такое направление в поляроиде называется осью пропускания PP, она направлена перпендикулярно длинным осям молекул (см. рисунок ниже).

 

Закон Малюса

Поставим на пути естественного света два поляроида, оси пропускания которых развернуты друг относительно друга на угол φ.

Вектор световой волны после первого поляроида будет параллелен PP. Этот поляроид называют поляризатором, т.к. после него естественный свет стал поляризованным.

После второго поляроида останется лишь вектор , параллельный P'P' его оси пропускания:

.

Т.к. интенсивность света (16.5.4) I ~ E², то, после второго поляроида интенсивность будет

.

где I_I - интенсивность перед вторым поляроидом. Полученное соотношение между интенсивностями носит название закона Малюса.

Если I_I выразить через I₀, то закон Малюса примет вид:

.

Частично поляризованный свет. Степень поляризации

Закон Малюса строго выполняется лишь для идеальных поляроидов - поляризатора и анализатора.

Если эти поляроиды частично пропускают свет с вектором , перпендикулярным осям пропускания, то после поляризатора свет будет частично поляризован. Идеальный поляризатор при PP параллельном P'P' пропустит свет интенсивностью I_max, а при PP перпендикулярной P'P' - свет интенсивностью I_min.

Степенью поляризации частичного поляризованного света называется величина

.

При идеальном поляризаторе I_min = 0 и P = 1, свет плоскополяризован.

Эллиптическая и круговая поляризация

Пусть вдоль оси x распространяются две плоскополяризованные когерентные световые волны, у которых колебания вектора происходят вдоль осей y и z, соответственно (см. рисунок ниже).

 

Так как колебания векторов и когерентны, то при их сложении получится вектор , конец которого будет, в общем случае, описывать эллипс в плоскости y, z (14.3.4). Такой свет называют эллиптически поляризованным. Ориентировка эллипса и направление вращения конца вектора зависит от разности фаз α(14.3.4). При α = 0, α = ±π эллипс вырождается в прямую: результирующая волна будет плоскополяризована. При α = ±π/2 и конец вектора будет двигаться по кругу. В этом случае говорят, что свет поляризован по кругу.

Дифракция (от лат. difractus - преломленный) в первоначальном смысле - огибание волнами препятствий, в современном, более широком смысле - любые отклонения при распространении волн от законов геометрической оптики (17.1).

Причина дифракции, как и интерференции (18), - суперпозиция волн, которая приводит к перераспределению интенсивности. Если число интерферирующих источников конечно, то говорят об интерференции волн (18). При непрерывном распределении источников говорят о дифракции волн.

Дифракция проявляется у волн любой природы.

Дифракция Френеля и Фраунгофера

Если λ - длина волны, b - размеры препятствия, L - расстояние от препятствия до точки наблюдения, то различают следующие ситуации:

19.2. Принцип Гюйгенса-Френеля

Строгое решение любой дифракционной задачи для световых волн сводится к нахождению решения уравнений Максвелла (13.4.) с соответствующими граничными условиями.

В оптике большое значение имеет приближенное решение дифракционных задач, основанное на принципе Гюйгенса-Френеля:

1. Каждая точка, до которой доходит волна, служит источником вторичных сферических волн, огибающая которых дает положение волнового фронта в следующий момент времени (Х. Гюйгенс, 1678 г.).
   
   
2. Амплитуда результирующей волны в любой точке пространства может быть найдена как результат интерференции всех вторичных волн, с учетом их фаз и амплитуд (О. Френель, 1818 г.).

Математическая формулировка принципа Гюйгенса-Френеля

 

Пусть S - волновая поверхность, не закрытая препятствием, P - точка наблю-дения. Тогда элемент поверхности dS возбудит в точке P колебание:

.

Результирующее колебание:

Здесь k( φ) определяет зависимость амплитуды dE от угла между нормалью к площадке dS и направлением на точку P. Множитель a0 дает амплитуду светового колебания в том месте, где находится dS. Величины ω и k - круговая частота и волновое число сферической волны (15.1.7.), распространяющейся от элемента dS.

 

Зоны Френеля

Вычисление интеграла в пункте (19.2.1.) в общем случае - трудная задача.

В случаях, если в задаче существует симметрия, амплитуду результирующего колебания можно найти методом зон Френеля, не прибегая к вычислению интеграла.

Пусть от источника света S распространяется монохроматическая сферическая волна, P - точка наблюдения. Через точку O проходит сферическая волновая поверхность. Она симметрична относительно прямой SP. Разобьем эту поверхность на кольцевые зоны I, II, III и т.д. так, чтобы расстояния от краев зоны до точки P отличались на λ/2 - половину длины световой волны. Это разбиение было предложено O. Френелем и зоны называют зонами Френеля.

Что дает такое разбиение для расчета интенсивности в точке P? Возьмем произвольную точку 1 в первой зоне Френеля. В зоне II найдется, в силу правила построения зон, такая соответствующая ей точка, что разность хода лучей, идущих в точку P от точек 1 и 2 будет равна λ/2. Вследствие этого колебания от точек 1 и 2 погасят друг друга в точке P.

Из геометрических соображениях следует, что при не очень больших номерах зон их площади примерно одинаковы. Значит каждой точке первой зоны найдется соответствующая ей точка во второй, колебания которых погасят друг друга. Амплитуда результирующего колебания, приходящего в точку P от зоны с номером m, уменьшается с ростом m, т.е.

Происходит это из-за увеличения с ростом m угла между нормалью к волновой поверхности и направлением на точку P. Значит гашение колебаний соседних зон будет не совсем полным.

Дифракция Френеля на круглом отверстии

Пусть на пути сферической световой волны, испускаемой источником S, расположен непрозрачный экран с круглым отверстием радиуса r₀. Если отверстие открывает четное число зон Френеля, то в точке P будет наблюдаться минимум, так как все открытые зоны можно объединить в соседние пары, колебания которых в точке P приблизительно гасят друг друга.

При нечетном числе зон в точке P будет максимум, так как колебания одной зоны останутся не погашенными.

Можно показать, что радиус зоны Френеля с номером m при не очень больших m:

.

Расстояние "a" примерно равно расстоянию от источника до преграды, расстояние "b" - от преграды до точки наблюдения P.

Если отверстие оставляет открытым целое число зон Френеля, то, приравняв r₀ и r_m, получим формулу для подсчета числа открытых зон Френеля:

.

При m четном в точке P будет минимум интенсивности, при нечетном - максимум.

Дифракция Фраунгофера на щели

В случае дифракции Фраунгофера параметр b²/(Lλ ) << 1 (19.1). Это значит, что если размер препятствия b ~ λ, то расстояние до экрана наблюдения L >> b.

Пусть на длинную щель шириной b падает плоская монохроматическая волна с длиной λ.

Поместим между щелью и экраном наблюдения линзу так, чтобы экран наблюдателя находился в фокальной плоскости линзы. Линза позволяет наблюдать на экране дифракцию в параллельных лучах (L → ∞ ).

Таутохронность линзы и ее следствия

Собирающая линза обладает свойством, называемым таутохронностью: лучи, идущие от волновой поверхности AC до точки наблюдения P имеют одинаковую оптическую длину. Таким образом результат суперпозиции вторичных волн, который определяет амплитуду колебаний световой волны в точке P (см. 19.2), зависит от разности хода, набегающей в треугольнике ABC.

Определение положений максимумов и минимумов методом зон Френеля

Для нахождения положений максимумов и минимумов интенсивности воспользуемся методом зон Френеля ( 19.3): разобьем сторону BC на отрезки длиной λ/2.

Из концов этих отрезков проведем линии, параллельные фронту вторичной плоской волны, идущей под углом φ. Эти линии разобьют AB - фронт первичной плоской волны на зоны Френеля. На рисунке их изображено три: AD, DE и EB. Число зон Френеля k зависит от λ и длины отрезка BC = b Sinφ . Если k целое, то

.

При четном числе зон Френеля k = 2m, где m = ±1, ±2… все зоны можно разбить на соседние пары, которые гасят друг друга ( 19.3). Следовательно условие минимума при дифракции Фраунгофера на щели имеет вид:

При нечетном k = 2m + 1 одна зона остается без пары и ее колебания не будут погашены, следовательно, условие максимума при дифракции Фраунгофера на щели будет иметь вид:

.

Обратим внимание, что условия формально противоположны условиям максимумов и минимумов ( 18.1.2.3) при интерференции от двух источников.

Угловая дисперсия дифракционной решетки

По определению, угловой дисперсией D называется величина:

.

Здесь и далее до конца этой главы, δ - знак дифференциала, т.к. буква d используется - она обозначает постоянную решетки.

В определении угловой дисперсии δλ - разность длин волн двух соседних линий, δφ - соответствующая разность углов, под которыми наблюдаются главные максимумы.

Выразим угловую дисперсию через постоянную решетки d, порядок спектра m и угол φ, под которым наблюдается максимум. Для этого найдем дифференциал от правой и левой части условия главного максимума (19.4.1):

При малых φ Cosφ ≈ 1 и

.

Линейная дисперсия

,

где l - расстояние вдоль экрана наблюдения, δl - расстояние между линиями на экране.

При наблюдении дифракции с помощью собирающей линзы при малых углах (φ << 1) из рисунка, приведенного ниже, можно найти связь линейной и угловой дисперсии:

,

Если наблюдение дифракционной картины ведется без линзы, на большом расстоянии L от решетки, то тогда при малых углах

.

Разрешающая сила дифракционной решетки

Здесь δλ - минимальная разница в длинах волн соседних спектральных линий, при которой эти линии еще можно наблюдать раздельно.

Критерий Релея

определяет величину δλ в соответствии с рисунком, представленным ниже.

Считают, что линии разрешены, если главный максимум линии λ₁ + δλ и добавочный минимум линии λ₁ совпадает, следовтельно:

По определению (19.4.4.2)

.

В результате получим:

.

Разрешающая сила R есть величина, обратная относительной погрешности определения длины волны. Она показывает, во сколько раз длина волны λ больше минимально возможной абсолютной погрешности δλ.

Подчеркнем, что N в формуле для разрешающей силы - это число щелей, принимающих участие в образовании главного максимума порядка m. Если поперечный размер падающего на решетку пучка света l_n больше длины решетки l_реш, то N = l_реш/d, d - постоянная решетки.

Если же l_пуч < l_реш , то N = l_пуч/d.

Кроме того, предполагается, что колебания от всех N щелей когерентны.

Разрешающая сила решетки для цуга волн. Соотношение между длиной цуга δx и точностью определения волнового числа δk.

Пусть на решетку по нормали падает цуг волн, протяженностью δx (ось x - вдоль направления распространения цуга).

Нетрудно сообразить, что в образовании дифракционных максимумов под углом φ , удовлетворяющим условию главного максимума (19.4.1) d · Sinφ = λm будет участвовать лишь часть решетки AC шириной:

.

Происходит это потому, что в силу таутохронности линзы времена распространения вторичных волн в точку P из точек A и B одинаковы. Следовательно, в этот момент, когда до точки B дойдут вторичные волны из точки С, возбужденные передним фронтом цуга, точку A будет проходить его задний фронт. Значит, число щелей решетки, принимающих в данном случае участие в образовании максимума порядка m будет равно:

.

Но d · Sinφ = λm , тогда

,

Из определения разрешающей силы (14.4.4.3)

.

В соответствии с критерием Релея (14.4.4.3.1)

,       значит,       .

Подставив сюда N = N_m = δx/mλ, получим для δλ:

.

Выразим λ и δλ через волновое число k (15.2.4)

В результате получим:

.

Мы заменили знак равенства на знак "больше или равно", т.к. наши рассуждения проводились для предельно возможной точности определения длины волны δλ, или соответствующей ей точности определения волнового числа δk.

На главную