Атом водорода. Частица в центрально симметричном поле
Пусть 
, т.е. поле обладает центральной симметрией, тогда
. Гамильтониан в координатном
представлении имеет вид 
. Пишем уравнение на собственные векторы:
В полярных координатах оператор Лапласа имеет вид
,
где
содержит слагаемые с производными по
переменным 
и 
.
Можно показать,
что оператор квадрата импульса и гамильтониан коммутируют: 
. Физически это означает, что L2 сохраняется. И 
тоже, значит операторы 
имеют общие собственные векторы.
Положительно заряжённое
ядро создаёт поле 
или в более общем виде 
.
Вектор 
, где 
, 
, 
, будет решением уравнения на собственные векторы
гамильтониана, при чём
Вектору
в координатном представлении отвечает функция 
.
Стационарное
состояние электрона в атоме водорода задаётся тремя числами n,
l, m, эти числа
определяют энергию En, момент и проекцию импульса соответствующие
этому состоянию, при чём 
. Это вследствие того, что 
.
Бор постулировал, что существуют орбиты, на которых электроны не излучают и ещё
1)
, где n — номер орбиты,
2)
.
Из этих постулатов следует, что
и 
.
При
Z = 1 (водород) и n = 1 
.
