Зоны энергии

Электрон в твёрдом теле заведомо находится в связанном состоянии, согласно общим положениям квантовой теории его энергия должна квантоваться, то есть собственные значения гамильтониана должны быть дискретны. Мы увидим сейчас, как она квантуется. Напишем гамильтониан:

Закон сохранения механической энергии Лекции по физике

Потенциальная энергия выглядит, конечно, сложным образом: это потенциальные ямы в окрестности атомов, и её не только ядра создают, там и все электроны. Выражение для гамильтониана задать очень сложно, надо учитывать взаимодействие электронов между собой, взаимодействия с ядрами, взаимодействие ядер между собой…, но нам это не важно, нам важно одно – эта функция периодическая. Напишем уравнение на собственные значения гамильтониана, где функция имеет такой вид :

или

 

Для каждого имеются значения , при которых это уравнение имеет решение, и тогда каждому будут соответствовать собственные функции . Таким образом, стационарные состояния электронов в металле задаются двумя переменными вектором и числом n, им отвечает функция и энергия . Напишем окончательно так:

 

 

Вот главный результат от всей этой науки, и всё это добыто как следствие трансляционной инвариантности решётки (вся физика переходит в себя при сдвигах с определённым вектором ). Что мы получаем? Вот у нас энергетическая шкала E, возможные значения энергии определяются величинами . Фиксируем n, получаем какую-то функцию от , которая имеет минимальное значение и максимальное. n = 2, мы опять имеем полосу энергий, при каком-то значении она минимальна, при каком-то значении она максимальна. И в результате мы получаем, что энергия электронов в металле может лежать в пределах, так называемых, энергетических зон. [an error occurred while processing this directive]

 

Для малых значений n эти зоны не перекрываются, но при больших значениях n они начинают перекрываться. Ещё более детальный анализ показывает, что имеются уровни энергий для электрона в атоме, когда эти атомы построятся в решётку, то эти уровни энергий расщепляются на зоны (рис. 4.2). Число уровней, на которые расщепляется начальный, равно 2N, где N — число атомов.

Чтоб с этим кончить, какие значения принимает вектор ? В прошлый раз мы обсуждали понятие обратной решётки, вектор имеет размерность обратной длины, значит вектор это вектор, принадлежащий обратной решётке. Все значения вектора в пределах элементарной ячейки отвечают определённым состоянию, если мы переходим в соседнюю ячейку, то там все состояния повторяются. Поэтому, если – трансляционный вектор обратной решётки, то выполняются условия: , .