В школе изучались уравнения линий на плоскости. В пространстве мы будем пользоваться уравнениями поверхностей и линий. Уточним сейчас, что такое уравнение поверхности.
. Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является
уравнением поверхности
в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности
удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности
, этому уравнению не удовлетворяют. Вместо слов "координаты точки удовлетворяют уравнению" иногда будем говорить "точка удовлетворяет уравнению".
Если мы изменим систему координат, то, как правило, изменится и уравнение поверхности.
Если уравнение достаточно сложное, то удовлетворяющие ему
точки могут образовывать не только поверхность, но и другие множества, например,
линию, одну точку, пару линий. Есть такие уравнения, которым не удовлетворяет
ни одна точка пространства. Например, ни одна точка с координатами 
не удовлетворяет уравнению 
.
В определении сказано, что уравнение должно связывать три переменных,
но по записи уравнения не всегда можно определить, сколько переменных оно связывает.
Например, уравнение 
можно рассматривать как уравнение прямой на плоскости, но можно это же уравнение
записать в виде 
, и тогда оно будет определять поверхность в пространстве (плоскость, как станет
известно дальше). Поэтому кроме самого уравнения должна быть задана информация
о том, в пространстве какой размерности находится определяемое этим уравнением
множество точек.
Одна и та же поверхность может задаваться разными уравнениями.
Например, если в уравнении поверхности
в правой части стоит нуль: 
, то обе части уравнения можно возвести в квадрат и получить 
. Новое уравнение будет являться уравнением той же самой поверхности
, хотя будет выглядеть по другому. Естественно, что когда говорят об уравнении
поверхности, то из всех уравнений этой поверхности стараются выбрать наиболее
"простое". Вычислить интеграл . Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл,
воспользуемся основной тригонометрической заменой:
Задача 7 (МАИ).
В треугольной
пирамиде SABC все ребра имеют одинаковую длину, равную l . На ребре SA взята точка
М так, что SM =
, на ребре SB взята точка N, а на плоскости
ABC взята точка Р. Найдите наименьшую величину суммы длин отрезков MN и NP.
Решение.
Длина отрезка NP минимальна, если
Р — проекция точки N на плоскость ABC. Очевидно, что Р принадлежит медиане BE
правильного треугольника ABC (рис. 8). Теперь нужно найти кратчайшее расстояние
от данной точки М до прямой BE по поверхности двугранного угла, образованного
плоскостями ABS и BSE. Это все равно, что найти расстояние от точки до прямой
на плоской развертке этого двугранного угла.
Рассмотрим такую развертку.
Для этого в плоскости SBE построим треугольник SA1В, равный треугольнику ASB (рис.
9). На стороне SA1 отметим точку M1, в которую при раз- разворачивании двугранного
угла пере- переходит точка М, так что SM1=. Как известно, кратчайшее расстояние от точки до прямой
есть перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную прямую. Поэтому проведем
М1P1 
BE. Очевидно, что сумма
MN+NP=M1N+NP минимальна тогда
и только тогда, когда Р=Р1 и N = Q. Осталось выяснить, чему равна длина отрезка
М1Р1.
Проведем SK M1P1. Пусть 
KSB =SBE = α. Высота SO пирамиды равна
. Тогда M1P1 = M1K+SO=
.
Выразив sin α и cos
α из треугольников SBE и SBO, получим ответ: 
Ответ:
