Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции	Реактор БН-800	ВВЭР-1000	РБМК-1000
Ледоколы	Подлодки	Флот	Гражданский суда
Ядерное оружие	Ядерная физика	Плавучие АЭС	Авиация

Высшая математика
1 семестр	2 семестр	3 семестр	Задачи
Интеграл	Курсовая	Контрольная	Практикум
Алгебра	Матанализ	Геометрия	Карта сайта

Теорема 11.2 Всякое уравнение(11.3), в котором $\vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert\ne0$ , является уравнением плоскости, ортогональной вектору ${\bf n}=(A,B,C)$ .

Доказательство. Условие $\vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert\ne0$ означает, что хотя бы одно из чисел $A,\,B,\,C$ , отлично от нуля. Пусть это будет, например, число . Преобразуем уравнение(11.3) следующим образом:

$\displaystyle A(x-0)+B\left(y-\left(-\frac DB\right)\right)-C(z-0)=0.$

По теореме 11.1 такое уравнение является уравнением плоскости с нормальным вектором n, проходящей через точку $M_0\left(0;-\frac DB; 0\right)$ . Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Теорема 11.1 позволяет написать уравнение плоскости, если известна точка этой плоскости и вектор, ортогональный плоскости. Однако, довольно часто встречаются задачи, где требуется получить уравнение плоскости, если известна точка, лежащая на ней, и два неколлинеарных вектора, лежащих или, что то же самое, параллельных плоскости. Покажем на примере, как решается такая задача.

Пример 11.1 Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной векторам ${\bf p}=(1;2;-1)$ и ${\bf q}=(-2;0;3)$ .
Решение. Векторное произведение ${\bf p}\times {\bf q}$ по определению 10.26 ортогонально векторам p и q. Следовательно, оно ортогонально искомой плоскости и вектор ${{\bf n}={\bf p}\times {\bf q}}$ можно взять в качестве ее нормального вектора. Найдем координаты вектора n:

$\displaystyle {\bf n}={\bf p}\times {\bf q}=\left\vert\begin{array}{rrr}{\bf i}… …j}&{\bf k}\\ 1&2&-1\\ -2&0&3\end{array}\right\vert= 6{\bf i}-{\bf j}+4{\bf k},$
то есть ${\bf n}=(6;-1;4)$ . Используя формулу(11.1), получим

$\displaystyle 6(x-1)+(-1)(y-2)+4(z-(-2))=0.$
Раскрыв в этом уравнении скобки, приходим к окончательному ответу.
Ответ: .
Пример 4. Вычислить двойной интеграл , когда область интегрирования D ограничена линиями y=2, y=x, y=1/x.
Решение. Построим область интегрирования D (рис.5).

Рис. 5.
Первое решение примера 4. По формуле (4) получаем
или
Второе решение примера 4. Если же для вычисления данного интеграла применить формулу (5), то