В этом разделе мы изучим свойства бесконечно малых величин, то есть величин, стремящихся к 0. В следующих разделах на этой основе мы будем изучать свойства величин, имеющих произвольное значение предела.
Определение 2.9
Функция 
называется бесконечно малой величиной при базе 
,
если её предел при данной базе равен 0, то есть 
.
называется бесконечно малой величиной при базе ,
если её предел при данной базе равен 0, то есть .
Заметим, что в этом определении фигурирует фиксированная
база ;
в зависимости от того, какая именно база взята, одна и та же функция может как
быть бесконечно малой, так и не быть ею.
Пример
2.8 Рассмотрим функцию
.
При базе 
эта функция является бесконечно малой, а при базе 
--
не является.
.
При базе
эта функция является бесконечно малой, а при базе --
не является.
Рис.2.16.График
функции 
Проверим это. Покажем, что 
.
Возьмём произвольное 
и решим неравенство 
.
Оно эквивалентно неравенству 
.
Получаем ; это означает, что при 
,
где 
,
неравенство
выполняется, то есть 
.
Мы показали, что 
--
бесконечно малая при .
.
Возьмём произвольное
и решим неравенство .
Оно эквивалентно неравенству .
Получаем ; это означает, что при ,
где ,
неравенство
выполняется, то есть .
Мы показали, что --
бесконечно малая при .
Теперь покажем, что 
,
то есть что эта величина не является бесконечно малой при .
Возьмём 
и найдём окрестность точки 0, в которой выполняется неравенство 
.
Это неравенство, очевидно, эквивалентно неравенству 
,
то есть при
попадание 
в 
-окрестность
точки 0 гарантирует выполнение неравенства .
Это означает, что 
.
,
то есть что эта величина не является бесконечно малой при .
Возьмём
и найдём окрестность точки 0, в которой выполняется неравенство .
Это неравенство, очевидно, эквивалентно неравенству ,
то есть при
попадание
в -окрестность
точки 0 гарантирует выполнение неравенства .
Это означает, что .
