Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции	Реактор БН-800	ВВЭР-1000	РБМК-1000
Ледоколы	Подлодки	Флот	Гражданский суда
Ядерное оружие	Ядерная физика	Плавучие АЭС	Авиация

Высшая математика
1 семестр	2 семестр	3 семестр	Задачи
Интеграл	Курсовая	Контрольная	Практикум
Алгебра	Матанализ	Геометрия	Карта сайта

Общие свойства пределов

В этом разделе мы на основе изученных выше свойств бесконечно малых величин (то есть функций, имеющих предел, равный 0) выясним свойства функций, имеющих произвольное значение предела.

Теорема 2.8 Пусть функции и имеют пределы при одной и той же базе $\mathcal{B}$ :
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1;\quad \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2.$
Тогда функция также имеет предел при базе $\mathcal{B}$ , и этот предел равен сумме пределов слагаемых:
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)+\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_1+L_2=L.$

Доказательство. Равенство $\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1$ означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина ${\alpha}(x)=f(x)-L_1$ -- бесконечно малая; равенство $\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2$ -- что ${\beta}(x)=g(x)-L_2$ -- бесконечно малая. Поэтому по теореме 2.5 сумма

$\displaystyle {\alpha}(x)+{\beta}(x)=(f(x)+g(x))-(L_1+L_2)=h(x)-L$

также является бесконечно малой. Теорема 2.4 утверждает, что тот факт, что разность бесконечно мала, означает, что $\lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=L$ ; это и требовалось доказать.

Замечание 2.2 В доказанной теореме не утверждается, что если существует предел суммы, то существуют и пределы слагаемых. Это неверно, что показывает простейший пример: пусть и . Тогда и предел $\lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)+g(x))=0$ , в то время как пределы при $x\to\pm\infty$ функций и не существуют.
Так что из несуществования пределов слагаемых не следует несуществование предела суммы.

Теорема 2.9 Пусть функции и имеют пределы при одной и той же базе $\mathcal{B}$ :
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1;\quad \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2.$
Тогда функция также имеет предел при базе $\mathcal{B}$ , и этот предел равен произведению пределов сомножителей:
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)\cdot\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_1L_2=L.$

Доказательство. Равенство $\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1$ означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина ${\alpha}(x)=f(x)-L_1$ -- бесконечно малая; равенство $\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2$ -- что ${\beta}(x)=g(x)-L_2$ -- бесконечно малая. Поэтому $f(x)=L_1+{\alpha}(x)$ и $g(x)=L_2+{\beta}(x)$ , откуда

$\displaystyle f(x)g(x)=(L_1+{\alpha}(x))(L_2+{\beta}(x))=L_1L_2+L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)+{\alpha}(x){\beta}(x)$

или

$\displaystyle f(x)g(x)-L_1L_2=L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)+{\alpha}(x){\beta}(x).$

Покажем, что в правой части этого равенства стоит бесконечно малая величина. Величина $L_2{\alpha}(x)+L_1{\beta}(x)$ -- бесконечно малая согласно следствию 2.3, а величина ${\alpha}(x){\beta}(x)$ -- бесконечно малая по теореме 2.7 (величина ${\beta}(x)$ имеет предел, равный 0, и, следовательно, локально ограничена по теореме 2.6). Поскольку разность между функцией и постоянной бесконечно мала при базе $\mathcal{B}$ , то по теореме 2.4 $\lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=L$ ; это и требовалось доказать.