Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции
Реактор БН-800
ВВЭР-1000
 РБМК-1000
Ледоколы
Подлодки
Флот
 Гражданский суда
Ядерное оружие
Ядерная физика
Плавучие АЭС
 Авиация

Высшая математика

1 семестр
2 семестр
3 семестр
 Задачи
Интеграл
Курсовая
Контрольная
 Практикум
Алгебра
Матанализ
Геометрия
 Карта сайта

 

 

  Пример 2.18   Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}$.
Очевидно, что
$\displaystyle \frac{x}{\sin x}=\dfrac{1}{\dfrac{\sin x}{x}},$
при этом предел знаменателя $ \dfrac{\sin x}{x}$ -- это первый замечательный предел, равный 1 (и, следовательно, не равный 0). Задача Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках  и его высоту, опущенную из вершины  на грань Высшая математика Кратные интегралы примеры решения задачЧислитель правой части, равный 1, имеет предел 1. Значит, по теореме о пределе отношения,
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}= \dfrac{\lim\limits_{x\to0}1}{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}}= \dfrac{1}{1}=1.$
    
        Пример 2.19   Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}$.
Сделаем замену переменного: пусть $ y=\arcsin x$. Тогда $ x=\sin y$ и база $ x\to0$ переходит в базу $ y\to0$. После замены получаем
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}= \lim\limits_{y\to0}\dfrac{\sin y}{y}=1.$ Линия и плоскость в пространстве
    
        Пример 2.20   Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}$.
Очевидно, что
$\displaystyle \frac{\arcsin x}{x}=\dfrac{1}{\dfrac{x}{\arcsin x}},$
при этом предел знаменателя $ \dfrac{x}{\arcsin x}$ был вычислен в предыдущем примере; он равен 1. Числитель правой части имеет предел 1. Применяя теорему о пределе отношения, получаем
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}= \dfrac{\lim\limits_{x\to0}1}{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}}= \dfrac{1}{1}=1.$
    
        Пример 2.21   Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$.
Преобразуем функцию под знаком предела следующим образом:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}= \lim\limits_{x\to0} \left(\dfrac{\sin 2x}{2x}\cdot\dfrac{3x}{\sin 3x}\cdot\dfrac{2}{3}\right).$
Теперь вынесем постоянный множитель за знак предела и применим теорему о пределе произведения:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}= \dfrac{2}{3} \lim\… …s_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{2x}\cdot \lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x}{\sin 3x}\cdot.$
(Чуть ниже мы увидим, что пределы сомножителей существуют, так что применять эту теорему здесь можно.) Заметим, что при заменах $ t=2x$ и $ y=3x$ база $ x\to0$ переходит в базу $ t\to0$ и $ y\to0$, так что
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{2x}= \lim\limits_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1$
и
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x}{\sin 3x}= \lim\limits_{y\to0}\dfrac{y}{\sin y}=1.$
Поэтому
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}= \dfrac{2}{3}\cdot1\cdot1=\dfrac{2}{3}.$
    
        Определение 2.12   Вторым замечательным пределом называется предел
$\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$
    

Число $ e$, заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число $ e$ часто называют основанием натуральных логарифмов.