Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции	Реактор БН-800	ВВЭР-1000	РБМК-1000
Ледоколы	Подлодки	Флот	Гражданский суда
Ядерное оружие	Ядерная физика	Плавучие АЭС	Авиация

Высшая математика
1 семестр	2 семестр	3 семестр	Задачи
Интеграл	Курсовая	Контрольная	Практикум
Алгебра	Матанализ	Геометрия	Карта сайта

Выше, в примерах 2.17 и 2.23, мы отмечали, что, фактически, при вычислении этих пределов использовали соображения, связанные с непрерывностью функций. Дадим теперь строгое определение непрерывности и обсудим способы вычисления пределов с помощью этого понятия.
        Определение 2.14 Пусть -- внутренняя точка области определения функции , то есть функция определена при всех из некоторого интервала $(x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ ( ${\delta}>0$ ), окружающего точку . Функция называется непрерывной в точке , если
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
(то есть предполагается, что этот предел существует и равен значению функции в указанной точке).

Рис.2.34.Функция непрерывна в точке

        Пример 2.28 При доказательстве теоремы о первом замечательном пределе нами было получено, что $\lim\limits_{x\to0+}\sin x=0$ (формула (2.3)). Так как $\sin(-x)=-\sin x$ , то с помощью замены легко показать, что ${\lim\limits_{x\to0-}\sin x=0,}$ а из теоремы о связи односторонних и двустороннего пределов отсюда следует, что
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\sin x=\sin0=0.$
Эта формула означает, что функция $f(x)=\sin x$ непрерывна в точке .
Там же была получена формула (2.4): ${\lim\limits_{x\to0+}\cos x=1.}$ Пользуясь тем, что ${\cos(-x)=\cos x}$ , и сделав замену , получим, что ${\lim\limits_{x\to0-}\cos x=1.}$ Поэтому и
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\cos x=\cos0=1.$
Это означает, что функция ${g(x)=\cos x}$ также непрерывна при ${x_0=0}$ .
Покажем, что функция $\sin x$ непрерывна при любом $x_0\in\mathbb{R}$ . По определению, для этого нужно доказать, что
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\sin x=\sin x_0.$ Функции комплексной переменной Определение и свойства функции комплексной переменной Пусть даны две плоскости комплексных чисел и на первой — множество D комплексных чисел z = x + iy, где i — мнимая единица (i2 = –1), на второй — множество G комплексных чисел w = u +iv. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Положим и заметим, что база $x\to x_0$ при такой замене переходит в базу $h\to0$ . Далее,
$\displaystyle \sin x=\sin(x_0+h)=\sin x_0\cos h+\cos x_0\sin h.$
Поэтому
$\begin{multline*} \lim_{x\to x_0}\sin x=\lim_{h\to0}\sin(x_0+h)= \lim_{h\to0}(… … x_0\lim_{h\to0}\sin h= \sin x_0\cdot1+\cos x_0\cdot0=\sin x_0 \end{multline*}$

(здесь мы воспользовались линейностью предела; $\sin x_0$ и $\cos x_0$ были при этом постоянными коэффициентами), что и доказывает непрерывность синуса.
Совершенно аналогично, с использованием формулы
$\displaystyle \cos(x_0+h)=\cos x_0\cos h-\sin x_0\sin h,$
доказывается непрерывность при любом функции $\cos x$ .