Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Атомная энергетика. Ядерные реакторы АЭС. Атомный флот. Ядерное оружие
Атомные станции	Реактор БН-800	ВВЭР-1000	РБМК-1000
Ледоколы	Подлодки	Флот	Гражданский суда
Ядерное оружие	Ядерная физика	Плавучие АЭС	Авиация

Высшая математика
1 семестр	2 семестр	3 семестр	Задачи
Интеграл	Курсовая	Контрольная	Практикум
Алгебра	Матанализ	Геометрия	Карта сайта

        Определение 2.15 Пусть функция определена на некотором полуинтервале $[x_0;x_0+{\delta})$ ( ${\delta}>0$ ), примыкающем к точке справа. Функция называется непрерывной справа в точке , если существует предел $\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)$ , и
$\displaystyle \lim_{x\to x_0+}f(x)=f(x_0).$

Рис.2.35.Функция непрерывна справа в точке

Пусть функция определена на некотором полуинтервале $(x_0-{\delta};x_0]$ ( ${\delta}>0$ ), примыкающем к точке слева. Функция называется непрерывной слева в точке , если существует $\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)$ , и
$\displaystyle \lim_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0).$

Рис.2.36.Функция непрерывна слева в точке


Из теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним сразу следует такая
        Теорема 2.18 Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .
Поскольку $x_0=\lim\limits_{x\to x_0}x$ , то непрерывность функции в точке означает, что обозначения функции и предела $\lim\limits_{x\to x_0}$ можно поменять местами:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(\lim_{x\to x_0}x).$ (2.6)

То же касается и непрерывности слева и справа.
Назовём элементарной любую функцию переменного из следующего списка:
$\displaystyle C;x^m;a^x;\sin x$
( -- произвольные постоянные вещественные числа, ), а также любую функцию, полученную из этих элементарных функций при помощи композиций, арифметических операций, перехода к обратной функции.
При этом в число элементарных функций попадают, например, все многочлены
$\displaystyle P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$
(где $a_0,\dots,a_n$ -- постоянные), все рациональные дроби
$\displaystyle R(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$
(где и -- многочлены), а также $\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})$ , $\mathop{\rm tg}\nolimits x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ , $\arcsin x$ (обратная к главной ветви $\sin$ ), $\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ (обратная к главной ветви $\mathop{\rm tg}\nolimits$ ), $\log_a x$ (обратная к ) и другие функции, с которыми можно было встретиться ещё в школьном курсе анализа.
Однако не все функции, рассматривающиеся в курсе математического анализа, являются элементарными. Примером может служить довольно часто употребляющаяся функция
$\displaystyle \mathop{\rm sign}\nolimits x=\left\{\begin{array}{rl} -1&\text{ при }x<0;\\ 0&\text{ при }x=0;\\ 1&\text{ при }x>0. \end{array}\right.$

Рис.2.37.График функции $\mathop{\rm sign}\nolimits x$

Если бы не значение $\mathop{\rm sign}\nolimits 0=0$ , её можно было бы рассматривать как элементарную: при $x\ne0$ она совпадает с функцией
$\displaystyle g(x)=\dfrac{(x^2)^{\frac{1}{2}}}{x}=\dfrac{\vert x\vert}{x},$
которая при не определена. Однако незначительное, на первый взгляд, отличие играет ключевую роль с точки зрения следующей теоремы.
        Теорема 2.19 Любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.
Частичное доказательство теоремы мы приведём ниже, в главе о свойствах непрерывных функций. Заметим, что выше мы уже доказали непрерывность функции $\sin x$ . Полное доказательство теоремы можно найти в подробных учебниках по математическому анализу, например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1 или С. М. Никольский, Курс математического анализа, т. 1.

В качестве примера рассмотрим только что введённую функцию $g(x)=\dfrac{\vert x\vert}{x}$ . Её график таков:

2.38.График функции $g(x)=\frac{\vert x\vert}{x}$

Для любой точки из области определения этой функции либо , и тогда при всех из некоторой окрестности точки , либо , и тогда при всех из некоторой окрестности точки . Очевидно, что тогда в первом случае
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}g(x)= \lim\limits_{x\to x_0}1=1=g(x_0),$
а во втором --
$\displaystyle \lim\limits_{x\to x_0}g(x)= \lim\limits_{x\to x_0}(-1)=-1=g(x_0),$
то есть функция непрерывна в любой точке своей области определения.
В случае функции $\mathop{\rm sign}\nolimits x$ всё дело "портит" точка : очевидно, что
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0+}\mathop{\rm sign}\nolimits x= \lim\limits_{x\to0+}1=1\ne0=\mathop{\rm sign}\nolimits 0,$
то есть в точке 0 нет непрерывности справа. (Точно так же нет и непрерывности слева.)
Используя непрерывность элементарных функций, на основании общих теорем можно во многих (простых) случаях находить значение пределов прямой подстановкой предельного значения в выражение, стоящее под знаком предела. Именно так мы поступим при вычислении предела в следующем примере.